Trojuholník A má plochu 12 a dve strany dĺžky 4 a 8. Trojuholník B je podobný trojuholníku A a má stranu dĺžky 7. Aké sú maximálne a minimálne možné plochy trojuholníka B?

odpoveď:

#A_ "Bmin" ~ ~ 4,8 #

#A_ "Bmax" = 36,75 #

vysvetlenie:

Najprv musíte nájsť bočné dĺžky pre trojuholník A s maximálnou veľkosťou, ak najdlhšia strana je väčšia ako 4 a 8 a trojuholník minimálnej veľkosti, keď 8 je najdlhšia strana.

Urobiť toto používať Heron's Area formula: #s = (a + b + c) / 2 # kde #a, b, & c # sú bočné dĺžky trojuholníka:

#A = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)) #

nechať #a = 8, b = 4 "&" c "je neznáma dĺžka strany" #

#s = (12 + c) / 2 = 6 + 1 / 2c #

#A_A = 12 = sqrt ((6 + 1 / 2c) (6 + 1 / 2c-4) (6 + 1 / 2c-8) (6 + 1 / 2c-c)) # 6

#A_A = 12 = sqrt ((6 + 1 / 2c) (2 + 1 / 2c) (- 2 + 1 / 2c) (6-1 / 2c)) #

Obe strany:

# 144 = (6 + 1 / 2c) (2 + 1 / 2c) (- 2 + 1 / 2c) (6-1 / 2c) #

Vytiahnite 1/2 z každého faktora:

# 144 = 1/16 (12 + c) (4 + c) (- 4 + c) (12-c) #

zjednoduší:

# 2304 = (12 + c) (4 + c) (- 4 + c) (12-c) #

# 2304 = (48 + 8c-c ^ 2) (- 48 + 8c + c ^ 2) #

# 2304 = -2304 + 384c + 48c ^ 2 - 384c + 64c ^ 2 + 8c ^ 3 + 48c ^ 2-8c ^ 3-c ^ 4 #

# c ^ 4 - 160c ^ 2 + 4608 = 0 #

* Náhradník #x = c ^ 2 *: "" x ^ 2 -160x + 4608 = 0 #

Použite vyplnenie štvorca:

# (x ^ 2-160x) = -4608 #

# (x - 160/2) ^ 2 = -4608 + (-160/2) ^ 2 #

# (x-80) ^ 2 = 1792 #

Druhá strana štvorca:

# x-80 = + -sqrt (1792) #

#x = 80 + -sqrt (16) sqrt (16) sqrt (7) #

#x = 80 + -16 sqrt (7) #

náhradka # c ^ 2 = x #:

# c ^ 2 = 80 + -16 sqrt (7) #

#c = + - sqrt (80 + -16 sqrt (7)) #

Vzhľadom k tomu, že dĺžky strán trojuholníka sú pozitívne, musíme ignorovať negatívne odpovede:

Minimálne a maximálne bočné dĺžky trojuholníka A:

#c = sqrt (80 + -16 sqrt (7)) ~ ~ 6.137, 11.06 #

od tej doby plocha trojuholníkov je úmerná štvorcu bočných dĺžok nájdeme maximálne a minimálne plochy trojuholníka B:

# A_B / A_A = (7/4) ^ 2; "" A_B = (7/4) ^ 2 * 12 = 36,75 #

# A_B / A_A = (7/8) ^ 2; "" A_B = (7/8) ^ 2 * 12 = 9,1875 #

# A_B / A_A ~ ~ (7 / 11.06) ^ 2; "" A_B ~ ~ (7 / 11.06) ^ 2 * 12 ~ ~ 4.8 #

# A_B / A_A ~ ~ (7 / 6.137) ^ 2; "" A_B ~ ~ (7 / 6.137) ^ 2 * 12 ~ ~ 15,6 #

#A_ "Bmin" ~ ~ 4,8 #

#A_ "Bmax" = 36,75 #