Čo je najmenšie celé číslo n, ktoré n! = m cdot 10 ^ (2016)?

odpoveď:

# N = 8075 #

vysvetlenie:

nechať #v_p (k) # byť multiplicita # P # ako faktor # K #, To znamená, #v_p (k) # je to najväčšie celé číslo také, že # P ^ (v_p (k)) | k #.

poznámky:

• Pre každého #k v ZZ ^ + # a # P # máme, máme #v_p (k!) = sum_ (i = 1) ^ k v_p (i) #

  (Toto môže byť ľahko preukázané indukciou)

• Pre akékoľvek celé číslo #k> 1 #, máme # v_2 (k!)> v_5 (k!) #.

  (Toto je intuitívne, ako násobky moci #2# vyskytujú sa častejšie ako násobky ekvivalentných právomocí. t #5#a môže sa preukázať dôsledným použitím podobného argumentu)

• pre #j, kv ZZ ^ + #, máme #j | k <=> v_p (j) <= v_p (k) # pre ľubovoľného hlavného deliča # P # z # J #.

Naším cieľom je nájsť najmenej celé číslo # N # takýmto spôsobom # 10 ^ 2016 |! N #, ako # 10 ^ 2016 = 2 ^ 2016xx5 ^ 2016 #a potom tretím pozorovaním to len potvrdzujeme # 2016 <= v_2 (n!) # a # 2016 <= v_5 (n!) #, Druhé pozorovanie znamená, že z nich vyplýva prvá. Stačí teda nájsť najmenej celé číslo # N # takýmto spôsobom # v_5 (n!) = sum_ (i = 1) ^ nv_5 (i)> = 2016 #.

Nájsť # N # urobíme pozorovanie, ktoré nám umožní vypočítať # V_5 (5 ^ k!) #.

medzi #1# a # 5 ^ k #, existujú # 5 ^ k / 5 # násobky #5#, z ktorých každý prispieva aspoň #1# na sumu #sum_ (i = 1) ^ (5 ^ k) v_5 (i) #, Tam sú tiež # 5 ^ k / 25 # násobky #25#, z ktorých každý prispieva dodatočne #1# po počiatočnom počte. Môžeme postupovať týmto spôsobom, kým nedosiahneme jeden násobok # 5 ^ k # (ktorý je # 5 ^ k #), ktorý prispel # K # krát. Vypočítaním sumy týmto spôsobom máme

# v_5 (5 ^ k!) = sum_ (i = 1) ^ (5 ^ k) v_5 (i) = súčet (i = 1) ^ (k) 5 ^ k / 5 ^ i = súčet (i = 1) ^ k5 ^ (Ki) = sum_ (i = 0) ^ (k-1), 5 ^ i = (5 ^ k-1) / (5-1) #

To zistíme # v_5 (5 ^ k!) = (5 ^ k-1) / 4 #

Nakoniec nájdeme # N # takýmto spôsobom # v_5 (n!) = 2016 #, Ak budeme počítať # V_5 (5 ^ k!) # pre niekoľko hodnôt # K #, nájdeme

# v_5 (5 ^ 1) = 1 #

# v_5 (5 ^ 2) = 6 #

# v_5 (5 ^ 3) = 31 #

# v_5 (5 ^ 4) = 156 #

# v_5 (5 ^ 5) = 781 #

ako #2016 = 2(781)+2(156)+4(31)+3(6)#, # N # potrebuje dva "bloky" #5^5#, dvaja z #5^4#, štyri z #5^3#a tri z nich #5^2#, Tak sa dostaneme

#n = 2 (5 ^ 5) +2 (5 ^ 4) +4 (5 ^ 3) +3 (5 ^ 2) = 8075 #

Počítač to môže rýchlo overiť #sum_ (i = 1) ^ (8075) v_5 (i) = 2016 #, teda #10^2016 | 8075!#, a ako #5|8075!# s multiplicitou #2016# a #5|8075#, je jasné, že žiadna menšia hodnota nebude stačiť.