Lopta s hmotnosťou 2 kg sa valí pri 9 m / s a pružne sa zrazí s odpočívajúcou guľou s hmotnosťou 1 kg. Aké sú rýchlosti po kolízii loptičiek?

odpoveď:

žiadny #cancel (v_1 = 3 m / s) #

žiadny #cancel (v_2 = 12 m / s) #

rýchlosť po kolízii dvoch objektov je uvedená nižšie pod vysvetlením:

#color (červená) (v'_1 = 2,64 m / s, v'_2 = 12,72 m / s) #

vysvetlenie:

# "použiť konverzáciu hybnosti" #

# 2 * 9 + 0 = 2 * v_1 + 1 * V_2 #

# 18 = 2 * v_1 + V_2 #

# 9 + v_1 = 0 + V_2 #

# V_2 = 9 + v_1 #

# 18 = 2 * v_1 + 9 + v_1 #

# 18-9 = 3 * v_1 #

# 9 = 3 * v_1 #

# v_1 = 3 m / s #

# V_2 = 9 + 3 #

# v_2 = 12 m / s #

Pretože existujú dve neznáme, nie som si istý, ako by ste dokázali vyriešiť vyššie uvedené bez použitia, zachovania hybnosti a zachovania energie (pružná kolízia). Kombinácia dvoch výnosov dáva 2 rovnice a 2 neznáme, ktoré potom riešite:

Zachovanie hybnosti:

# m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v'_1 + m_2v'_2 # =======> (1)

nech # m_1 = 2 kg; m_2 = 1 kg; v_1 = 9 m / s; V_2 = 0 m / s #

Zachovanie energie (pružná kolízia):

# 1 / 2m_1v_1 ^ 2 + 1 / 2m_2v_2 ^ 2 = 1 / 2m_1v'_1 ^ 2 + 1 / 2m_2v'_2 ^ 2 # =======> (2)

Máme 2 rovnice a 2 neznáme:

Od (1) ==> # 2 * 9 = 2v'_1 + v'_2; farba (modrá) (v'_2 = 2 (9-v'_1)) # ==>(3)

Od (2) ==> # 9 ^ 2 = v'_1 ^ 2 + 1 / 2v'_2 ^ 2 # ===================> (4)

insert # (3) => (4)#:

# 9 ^ 2 = v'_1 ^ 2 + 1/2 * farba (modrá) 2 (9-v'_1) ^ 2 # zväčšiť

# 9 ^ 2 = v'_1 ^ 2 + 2 (9 ^ 2-18v'_1 + v'_1 ^ 2) #

# 2v'_1 ^ 2 -36v'_1 + 9 ^ 2 = 0 # vyriešiť kvadratickú rovnicu pre # # V'_1

Pomocou kvadratického vzorca:

# v'_1 = (b + -sqrt (b ^ 2-4ac) / 2a); v'_1 => (2.64, 15.36) #

Riešenie, ktoré dáva zmysel, je 2,64 (vysvetlite prečo?)

Vložiť do bodu (3) a vyriešiť #color (modrá) (v'_2 = 2 (9-farebná (červená) 2,64) = 12,72 #

Takže rýchlosť po kolízii dvoch objektov je:

# v'_1 = 2,64 m / s, v'_2 = 12,72 #

odpoveď:

# v_1 = 3 m / s #

# v_2 = 12 m / 2 #

vysvetlenie:

# m_1 * v_1 + m_2 * v_2 = m_1 * v_1 '+ m_2 * v_2 ^' "(1) # #

#cancel (1/2) * * m_1 v_1 ^ 2 + zrušiť (1/2) * * m_2 V_2 ^ 2 = zrušiť (1/2) * * m_1 v_1 ^ ('2) + zrušiť (1/2) * m_2 * v_2 ^ ('2) # #

# m_1 * v_1 ^ 2 + m_2 * v_2 ^ 2 = m_1 * v_1 ^ ('2) + m_2 * v_2 ^ (' 2) "(2)" #

# m_1 * v_1-m_1 * v_1 ^ '= m_2 * v_2 ^' - m_2 * v_2 "presunutie (1)" #

# m_1 (v_1-v_1 ^ ') = m_2 (v_2 ^' - v_2) "(3)" #

# m_1 * v_1 ^ 2-m_1 * v_1 ^ ('2) = m_2 * v_2 ^ (' 2) -m_2 * v_2 ^ 2 "presunutie (2)" #

# m_1 (v_1 ^ 2-v_1 ^ ('2)) = m_2 (v_2 ^ (' 2) -v_2 ^ 2) "(4)" #

# "divide: (3) / (4)" #

# (M_1 (v_1-v_1 ^ ')) / (m_1 (v_1 ^ 2-v_1 ^ (' 2))) = (m_2 (V_2 ^ '- V_2)) / (m_2 (V_2 ^ (' 2) -v_2 ^ 2)) #

# (V_1-v_1 ^ ') / ((v_1 ^ 2-v_1 ^ (' 2))) = ((V_2 ^ '- V_2)) / ((V_2 ^ (' 2) -v_2 ^ 2)) #

# v_1 ^ 2-v_1 ^ ('2) = (v_1 + v_1 ^') * (v_1-v_1 ^ '); V_2 ^ ('2) = (V_2 ^' + V_2) * (V_2 ^ '- V_2) #

# V_1 + v_1 ^ '= V_2 + V_2 ^' #

Motocyklista cestuje 15 minút pri rýchlosti 120 km / h, 1 h 30 minút pri rýchlosti 90 km / ha 15 minút pri rýchlosti 60 km / h. Pri akej rýchlosti by musela cestovať, aby vykonala tú istú cestu v rovnakom čase bez zmeny rýchlosti?

90 "km / h" Celkový čas potrebný na cestu motocyklistu je 0,25 "h" (15 "min") + 1,5 "h" (1 "h" 30 "min") + 0,25 "h" (15 "min") ) = 2 "hodiny" Celková prejdená vzdialenosť je 0,25120 + 1,5x90 + 0,25x60 = 180 "km" Preto rýchlosť, po ktorú by musela cestovať, je: 180/2 = 90 "km / h" Dúfam, že dáva zmysel!

Lopta s hmotnosťou 3 kg sa valí pri 3 m / s a pružne sa zrazí s odpočívajúcou guľou s hmotnosťou 1 kg. Aké sú rýchlosti po kolízii loptičiek?

Rovnice ochrany energie a hybnosti. u_1 '= 1,5 m / s u_2' = 4,5 m / s Ako naznačuje wikipedia: u_1 '= (m_1-m_2) / (m_1 + m_2) * u_1 + (2m_2) / (m_1 + m_2) * u_2 = = (3- 1) / (3 + 1) * 3 + (2 * 1) / (3 + 1) * 0 = = 2/4 * 3 = 1,5 m / s u_2 '= (m_2-m_1) / (m_1 + m_2) * u_2 + (2m_1) / (m_1 + m_2) * u_1 = = (1-3) / (3 + 1) * 0 + (2 x 3) / (3 + 1) * 3 = = -2 / 4 * 0 + 6/4 * 3 = 4,5 m / s [Zdroj rovníc] Derivácia Zachovanie hybnosti a energetického stavu: Momentum P_1 + P_2 = P_1 '+ P_2' Pretože hybnosť sa rovná P = m * u m_1 * u_1 + m_2 * u_2 = m_1 * u_1 '+ m_2 * u_2' - - - (1)

Lopta s hmotnosťou 5 kg sa valí pri 3 m / s a pružne sa zrazí s kľudovou guľou s hmotnosťou 2 kg. Aké sú rýchlosti po kolízii loptičiek?

V_1 = 9/7 m / s v_2 = 30/7 m / s 5 * 3 + 0 = 5 * v_1 + 2 * v_2 15 = 5 * v_1 + 2 * v_2 "(1)" 3 + v_1 = 0 + v_2 "(2)" farba (červená) "" súčet rýchlostí objektov pred a po kolízii musí byť rovný "" "zapísať" v_2 = 3 + v_1 "na (1)" 15 = 5 * v_1 + 2 * ( 3 + v_1) 15 = 5.v_1 + 6 + 2 * v_1 15-6 = 7 * v_1 9 = 7 * v_1 v_1 = 9/7 m / s použitie: "(2)" 3 + 9/7 = v_2 v_2 = 30/7 m / s