Ukážte, že 1 + 1 / sqrt2 + cdots + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1), pre n> 1?

odpoveď:

nižšie

vysvetlenie:

Ak chcete ukázať, že nerovnosť je pravdivá, použijete matematickú indukciu

# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1) # pre #n> 1 #

Krok 1: Dokážte pravdu # N = 2 #

LHS =# 1 + 1 / sqrt2 #

RHS =# Sqrt2 (2-1) = sqrt2 #

od tej doby # 1 + 1 / sqrt2> sqrt2 #, potom #LHS> RHS #, Preto je to pravda # N = 2 #

Krok 2: Predpokladajme, že platí pre # N = k # kde k je celé číslo a #k> 1 #

# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk> = sqrt2 (k-1) # --- (1)

Krok 3: Kedy # N = k + 1 #,

RTP: # 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)> = sqrt2 (k + 1-1) #

tj # 0> = sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #

RHS

=# Sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #

#> = Sqrt2- (sqrt2 (k-1) + 1 / sqrt (k + 1)) # od (1) predpokladom

=# Sqrt2-sqrt2 (k) + sqrt2-1 / sqrt (k + 1) #

=# 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) #

od tej doby #K> 1 #, potom # -1 / sqrt (k + 1) <0 # a odvtedy # Ksqrt2> = 2sqrt2> 0 #, potom # 2sqrt2-ksqrt2 <0 # tak # 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) = <0 #

= LHS

Krok 4: Dôkazom matematickej indukcie, táto nerovnosť platí pre všetky celé čísla # N # väčší než #1#

Táto nerovnosť je nepravdivá.

Napr #n = 3 #:

#underbrace (1 + 1 / sqrt2 + 1 / sqrt3) _ (cca 2.3) zrušiť (> =) podproces (sqrt2 (3-1)) _ (približne 2.8) #

Rozpor.