Trojuholník A má plochu 12 a dve strany dĺžky 6 a 9. Trojuholník B je podobný trojuholníku A a má stranu dĺžky 15. Aké sú maximálne a minimálne možné plochy trojuholníka B?

odpoveď:

Maximálna plocha #triangle B = 75 #

Minimálna plocha #triangle B = 100/3 = 33,3 #

vysvetlenie:

Podobné trojuholníky majú rovnaké uhly a pomery veľkosti. To znamená zmena v dĺžke ktorejkoľvek strany buď väčšej alebo menšej bude rovnaká pre ostatné dve strany. V dôsledku toho, oblasť #s podobný trojuholník # bude tiež pomer jedného ku druhému.

Ukázalo sa, že ak pomer strán podobných trojuholníkov je R, potom pomer plôch trojuholníkov je # R ^ 2 #.

Príklad: Pre a # 3,4,5, pravouhlý trojuholník # sedí #3# základňa, jeho oblasť sa dá ľahko vypočítať formou # A_A = 1 / 2BH = 1/2 (3) (4) = 6 #.

Ale ak sú všetky tri strany zdvojnásobil na dĺžku, oblasť nového trojuholníka je # A_b = 1 / 2BH = 1/2 (6), (8) = 24 # ktorý je #2^2# = 4A_A.

Z poskytnutých informácií musíme nájsť oblasti dvoch nových trojuholníkov, ktorých strany sa zväčšujú z oboch strán # 6 alebo 9 až 15 # to sú #podobný# pôvodných dvoch.

Tu máme #triangle A # s oblasťou # A = 12 # a stranách # 6 a 9. #

My tiež máme väčšia #s podobný trojuholník B # s oblasťou # B # a strane #15.#

Pomer zmeny v oblasti #triangle A na trojuholník B # kde strana # 6 až 15 # je potom:

#triangle B = (15/6) ^ 2týžkový A #

#triangle B = (15/6) ^ 2 (12) #

#triangle B = (225 / (zrušiť (36) 3)) (zrušiť (12)) #

#triangle B = 75 #

Pomer zmeny v oblasti #triangle A na trojuholník B # kde strana # 9 až 15 # je potom:

#triangle B = (15/9) ^ 2týžkový A #

#triangle B = (15/9) ^ 2 (12) #

#triangle B = (225 / (zrušiť (81) 27)) (zrušiť (12) 4) #

#triangle B = (zrušiť (900) 100) / (zrušiť (27) 3) #

#triangle B = 100/3 = 33,3 #

odpoveď:

Minimum je #2.567# a maximum je #70.772#

vysvetlenie:

TÁTO ODPOVEĎ MÔŽE BYŤ NEPLATNÁ A JE OČAKÁVANÁ NA RECALKULÁCIU A DVOJITÚ KONTROLU! Skontrolujte, či EET-AP odpovedá na overenú metódu riešenia problému.

Pretože tieto dva trojuholníky sú podobné, nazývame ich trojuholník # ABC # a # # DEF, # A / D = B / E = C / F #, Nie je uvedené, ktorá strana má dĺžku 15, takže ju musíme vypočítať pre každú hodnotu (# A = 6, B = 9 #), a na to musíme nájsť hodnotu # C #.

Začnite tým, že si spomínate na Heronovu vetu # A = sqrt (S (S-A) (S-B) (S-C)) # kde # S = (A + B + C) / 2 #. # A + B = 15 #, takže # S = 7,5 + C #, Takže rovnica pre oblasť (nahradená #12#) je # 12 = sqrt ((7,5 + C / 2) (7,5 + C / 2-6) (7,5 + C / 2-9) (7,5 + C / 2-C) #, To zjednodušuje # 144 = (7,5 + C / 2) (1,5 + C / 2) (7,5-C / 2) #, ktoré budem znásobovať dvomi kvôli odstráneniu desatinných miest # 288 = (15 + C) (3 + C) (15-C) #, Vynásobte toto, aby ste sa dostali # 144 = -C ^ 3-3C ^ 2 + 225C + 675 #, # 0 = C ^ 3-3C ^ 2 + 225C + 531 #, # 0 = C ^ 3 + 3C ^ 2-225C-531 #, Faktor to dostať # C ~ = 14,727 #.

Tieto informácie teraz môžeme použiť na nájdenie oblastí. ak # F = 12 #, mierka medzi trojuholníkmi je #14.727/12#, Vynásobením ostatných dvoch strán týmto počtom výnosov # D = 13,3635 # a # E ~ = 11,045 #a # S ~ = 19,568 #, Zapojte to do Heronovho vzorca, aby ste sa dostali # A = 70,772 #, Postupujte podľa rovnakého súboru krokov

# D = 12 # zistiť, že minimum # A # približne rovná #2.567#.