Lopta padne priamo z výšky 12 stôp. Po zasiahnutí zeme odrazí späť 1/3 vzdialenosti, ktorú spadol. Ako ďaleko bude lopta cestovať (smerom nahor aj nadol) predtým, než príde k odpočinku?

odpoveď:

Lopta sa bude pohybovať 24 stôp.

vysvetlenie:

Tento problém vyžaduje zváženie nekonečných sérií. Zvážte skutočné správanie lopty:

Najprv lopta spadne 12 stôp.

Ďalej sa lopta odrazí #12/3 = 4# chodidla.

Lopta potom spadne na 4 stopy.

Na každom nasledujúcom odskoku sa lopta pohybuje

# 2 * 12 / (3 ^ n) = 24/3 ^ n # nohy, kde # N # je počet odrazov

Ak si teda predstavíme, že lopta začína od #n = 0 #, potom naša odpoveď môže byť získaná z geometrického radu:

# sum_ (n = 0) ^ infty 24/3 ^ n - 12 #

Všimnite si #-12# korekčný termín, je to preto, že ak začneme od # N = 0 # počítame 0-tý odraz 12 stôp a 12 stôp nadol. V skutočnosti lopta míňa iba polovicu, pretože začína vo vzduchu.

Môžeme zjednodušiť našu sumu na:

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1/3 ^ n - 12 #

Toto je len jednoduchá geometrická séria, ktorá nasleduje za pravidlom, že:

#lim_ (n-> infty) sum_ (i = 0) ^ n r ^ i = 1 / (1 - r) #

Tak dlho ako # | R | <1 #

To prináša jednoduché riešenie nášho problému:

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1/3 ^ n - 12 = 24 * 1 / (1-1 / 3) - 12 #

# = 24*1/(2/3) - 12 = 24*3/2 -12 #

#= 36 - 12 = 24# chodidla.