Čo je int (cos (x)) ^ 4 dx?

odpoveď:

#int (cos (x)) ^ 4 dx = 1/32 12x + 8sin (2x) + sin (4x) #

vysvetlenie:

Zatiaľ čo sa pôvodne zdá, že je to skutočne otravný integrál, môžeme skutočne využiť trig identity, aby sme tento integrál rozpadli na sériu jednoduchých integrálov, s ktorými sme viac oboznámení.

Identita, ktorú budeme používať, je:

# cos ^ 2 (x) = (1 + cos (2x)) / 2 #

To nám umožňuje manipulovať s našou rovnicou ako takou:

#int cos ^ 4 (x) dx = int (1 + cos (2x)) / 2 * (1 + cos (2x)) / 2dx #

# = 1/4 int (1 + cos (2x)) (1 + cos (2x)) dx #

# = 1 / 4krát (1+ 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

Teraz môžeme opäť použiť naše pravidlo, aby sme odstránili cos ^ 2 (2x) vo vnútri zátvorky:

# 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

# = 1/4 min (1+ 2cos (2x) + (1 + cos (4x)) / 2) dx #

# = 1 / 8int (2+ 4cos (2x) + 1 + cos (4x)) dx #

# = 1 / 8int (3+ 4cos (2x) + cos (4x)) dx #

Teraz máme v skutočnosti pomerne jednoduchý integračný problém, môžeme integrovať integrál do našich zátvoriek, takže:

# = 1/8 int3dx + 4intcos (2x) dx + intcos (4x) dx #

Každý z týchto trig integrálov je riešený jednoduchým pravidlom, ktoré #int cos (ax) dx = 1 / a sin (ax) #.

To znamená, # = 1/8 3x + 2 hriech (2x) + 1/4 hriech (4x) #

# = 1/32 12x + 8sin (2x) + sin (4x) #