Čo je doména a rozsah f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4)?

odpoveď:

Doména: celá reálna čiara

rozsah: #-0.0757,0.826#

vysvetlenie:

Túto otázku možno interpretovať jedným z dvoch spôsobov. Buď očakávame, že sa budeme zaoberať iba skutočnou líniou # RR #, alebo tiež so zvyškom zložitej roviny # CC #, Použitie #X# ako premenná znamená, že sa zaoberáme iba skutočnou líniou, ale existuje tu zaujímavý rozdiel medzi týmito dvoma prípadmi, ktoré budem upozorňovať.

Doména domény # F # je celá uvažovaná číselná množina mínus akékoľvek body, ktoré spôsobujú, že funkcia vyhodí do nekonečna. To sa stáva, keď menovateľ # X ^ 2 + 4 = 0 #kedy # X ^ 2 = -4 #, Táto rovnica nemá žiadne reálne riešenia, takže ak pracujeme na reálnej čiare, doména je celý interval # (- oo, + oo) #, Ak vezmeme do úvahy nekonečné hranice funkcie porovnaním vedúcich výrazov v čitateľovi a menovateľovi, vidíme, že na oboch nekonečtoch má tendenciu nula, a tak môžeme, ak si to prajeme, pridať do tohto intervalu, aby sme ju uzavreli: # - oo, + oo #.

Rovnica # X ^ 2 = -4 # má však dve komplexné riešenia, #X = + - 2i #, Ak vezmeme do úvahy celú komplexnú rovinu, potom doména je celá rovina mínus tieto dva body: # CC # # {+ - 2i} #, Rovnako ako v prípade reals, môžeme pridať do nekonečna podobne, ak chceme.

Na určenie rozsahu # F # musíme zistiť jeho maximálne a minimálne hodnoty nad jeho doménou. Teraz budeme hovoriť iba v reálnych podmienkach, pretože určenie analógu k týmto v zložitej rovine je vo všeobecnosti iný druh problému, ktorý si vyžaduje rôzne matematické nástroje.

Vezmite prvú deriváciu cez pravidlo kvocientu:

# F '(x) = ((x ^ 2 + 4) -2x (x + 3)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 = (- x ^ 2-6x + 4) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

Funkcia # F # dosiahne buď extrém alebo bod inflexie, keď # F '(x) = 0 #kedy # -X ^ 2-6x + 4 = 0 #.

Riešime to kvadratickým vzorcom:

# X = -1/2 (6 + -sqrt (52)) = - 3 + -sqrt (13) #, Takže funkcia má dva takéto body.

Tieto body charakterizujeme skúmaním ich hodnôt pri druhom deriváte # F #, ktoré berieme opäť cez pravidlo kvocientu:

# F '' (x) = ((- 2x-6), (x ^ 2 + 4) ^ 2 - (- x ^ 2-6x + 4) * 4x (x ^ 2 + 4)) / (x ^ 2 4) ^ 4 #

# = (- 2 (x + 3) (x ^ 2 + 4) + 4x (x ^ 2 + 6x-4)) / (x ^ 2 + 4) ^ 3 #

Z nášho prvého výpočtu odvodzujeme, že druhý termín v čitateli je pre tieto dva body nulový, pretože nastavenie na nulu je rovnica, ktorú sme práve vyriešili na nájdenie vstupných čísel.

Všimol som si to # (- 3 + -sqrt (13)) ^ 2 = 22bar (+) 6sqrt (13) #:

# F '' (- 3 + -sqrt (13)) = (- 2 (-3 + -sqrt (13) 3) (22bar (+) 6sqrt (13), 4)) / (22bar (+) 6sqrt (13) 4) ^ 3 #

# = (Bar (+) 2sqrt (13) (26bar (+) 6sqrt (13))) / (26bar (+) 6sqrt (13)) ^ 3 #

Pri určovaní znaku tohto výrazu sa pýtame, či # 26> 6sqrt (13) #, Vyrovnajte obe strany na porovnanie: #26^2=676#, # (6sqrt (13)) ^ 2 = 36 * 13 = 468 #, tak # 26-6sqrt (13) # je pozitívny (a # 26 + 6sqrt (13) # ešte viac).

Znamienko celého výrazu teda prichádza až k #bar (+) # pred ním, čo znamená, že # X = -3-sqrt (13) # má # F '' (x)> 0 # (a je preto funkčným minimom) a # X = -3 + sqrt (13) # má # F '' (x) <0 # (a preto je maximálna funkcia). Poznamenali sme, že funkcia má tendenciu nula na nekonečno, teraz chápeme tvar funkcie úplne.

Takže teraz, aby sme získali rozsah, musíme vypočítať hodnoty funkcie na minimálnych a maximálnych bodoch # X = -3 + -sqrt (13) #

Pripomeňme, že # F (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #, a tak

# F (-3 + -sqrt (13)) = (- 3 + -sqrt (13) 3) / (22bar (+) 6sqrt (13), 4) = (+ - sqrt (13)) / (26bar (+) 6sqrt (13)) #.

Takže cez reálnu líniu # RR # funkcia # F (x) # hodnoty v rozsahu # - sqrt (13) / (26 + 6sqrt (13)), sqrt (13) / (26-6sqrt (13)) #, ktorý, ak budeme numericky hodnotiť, príde #-0.0757,0.826#na tri významné číslice získané na #X# hodnoty #-6.61# a #0.606# (3 s.f.)

Nakreslite graf funkcie ako kontrolu zdravého rozumu:

graf {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -15, 4,816, -0,2, 1}

odpoveď:

doména: #x v RR #

rozsah: #f (x) vo farbe -0.075693909, + 0.825693909 (biela) ("xxx") # (Približne)

vysvetlenie:

daný

#COLOR (biely) ("XXX") f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

doména

doména sú všetky hodnoty #X# pre ktoré # F (x) # je definovaný.

Pre akúkoľvek funkciu vyjadrenú ako polynóm vydelený polynomom, je funkcia definovaná pre všetky hodnoty #X# kde deliteľový polynóm nie je rovný nule. od tej doby # X ^ 2> = 0 # pre všetky hodnoty #X#, # X ^ 2 + 4> 0 # pre všetky hodnoty #X#; to je túto chvíľu # násobok! = 0 # pre všetky hodnoty #X#; funkcia je definovaná pre všetky reálne (# RR #) hodnoty #X#.

rozsah

rozsah je trochu zaujímavejšie rozvíjať.

Poznamenávame, že ak má spojitá funkcia limity, derivácia funkcie v bodoch, ktoré vedú k týmto limitom, sa rovná nule.

Aj keď niektoré z týchto krokov môžu byť triviálne, budeme týmto procesom pracovať od pomerne základných princípov pre deriváty.

1 Exponentné pravidlo pre deriváty

ak # F (x) = x ^ n # potom # (d f (x)) / (dx) = nx ^ (n-1) #

2 Sumové pravidlo pre deriváty

ak # F (x) = R (x) + y (x) # potom # (df (x)) / (dx) = (d r (x)) / (dx) + (ds (x)) / (dx) #

3 Pravidlo produktu pre deriváty

ak #f (x) = g (x) * h (x) # potom # (df (x)) / (dx) = (d g (x)) / (dx) * h (x) + g (x) * (d h (x)) / (dx) #

4 Pravidlo reťazca pre deriváty

ak # F (x) = p (q (x)) # potom # (df (x)) / (dx) = (dp (q (x))) / (d q (x)) * (d q (x)) / (dx) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Pre danú funkciu # F (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

Všimli sme si, že toto môže byť napísané ako #f (x) = (x + 3) * (x ^ 2 + 4) ^ (- 1) #

Podľa 3 vieme

#color (biela) ("XXX") farba (červená) ((df (x)) / (dx)) = farba (vápno) ((d (x + 3)) / (dx)) * farba (modrá) ((x ^ 2 + 4) ^ (- 1)) + farba (modrá) ((x + 3)) * farba (purpurová) ((d ((x ^ 2 + 4) ^ (- 1))) / (dx)) #

Do 1 máme

#color (biela) ("XXX") (d (x + 3)) / (dx) = (dx) / (dx) + (d (3 * x ^ 0)) / (dx) #

a 2

#COLOR (biely) ("XXX") farby (vápno), ((d (x + 3)) / (dx)) = 1 + 0 = farby (vápno), (1) #

Do 4 máme

#color (biela) ("XXX") farba (purpurová) ((d (x + 4) ^ (- 1)) / (dx)) = (d (x + 4) ^ (- 1)) / (d (x + 4)) * (d (x + 4)) / (dx) #

a 1 a 2

#color (biela) ("XXXXXXXX") = - 1 (x ^ 2 + 4) ^ (- 2) * 2x #

alebo zjednodušené:

#COLOR (biely) ("XXXXXXXX") = farba (magenta), (- (2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) #

nám

#color (biela) ("XXX") farba (červená) ((df (x)) / (dx)) = farba (zelená) 1 * farba (modrá) ((x + 4) ^ (- 1)) + farba (modrá) ((x + 3)) * farba (purpurová) ((- 2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) #

ktoré možno zjednodušiť ako

#color (biela) ("XXX") farba (červená) ((d f (x)) / (dx) = (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) #

Ako už bolo uvedené (cesta späť), znamená to, že limitné hodnoty nastanú, keď

#COLOR (biely) ("XXX") (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2), = 0 #

#color (biela) ("XXX") rArr -x ^ 2-6x + 4 = 0 #

potom pomocou kvadratického vzorca (pozrite sa hore, Socratic sa už sťažuje na dĺžku tejto odpovede)

kedy

#COLOR (biely) ("XXX") x = -3 + -sqrt (13) #

Namiesto toho, aby sme predĺžili agóniu, jednoducho tieto hodnoty vložíme do kalkulačky (alebo tabuľky, čo je spôsob, ako to robím), aby som dosiahol limity:

#COLOR (biely) ("XXX") f (3-sqrt (13)), ~~ -0,075693909 #

a

#COLOR (biely) ("XXX") f (-3 + sqrt (13)), ~~, 825693909 #

odpoveď:

Jednoduchší spôsob, ako nájsť rozsah. Doména je #x v RR #, Rozsah je #y v -0.076, 0.826 #

vysvetlenie:

Doména je #x v RR # ako

#AA x v RR #, menovateľ # X ^ 2 + 4> 0 #

nechať # Y = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

Kríž násobiť

#=>#, #y (x ^ 2 + 4) = x + 3 #

# YX ^ 2-x + 4y-3 = 0 #

Toto je kvadratická rovnica v #X#

Existujú riešenia, ak je diskriminačný #Delta> = 0 #

#Delta = (- 1) ^ 2-4 * (y) (4y-3) = 1-16 ^ 2 + 12y #

Z tohto dôvodu

# 1-16 ^ 2 + 12y> = 0 #

#=>#, # 16y ^ 2-12-1 <= 0 #

Riešenia tejto nerovnosti sú

# y v (12-sqrt ((- 12) ^ 2-4 * (- 1) * 16) / (32), ((-12) + sqrt ((- 12) ^ 2-4 * (- 1) * 16)) / (32) #

#y in (12-sqrt (208) / 32, (12 + sqrt (208)) / 32 #

#y v -0.076, 0.826 #

graf {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -6,774, 3,09, -1,912, 3,016}