Čo je derivácia x ^ n?

Pre funkciu # F (x) = x ^ n #, n by malo nie rovné 0 z dôvodov, ktoré sa stanú jasnými. n by malo byť tiež celé číslo alebo racionálne číslo (t.j. zlomok).

Pravidlo je:

#f (x) = x ^ n => f '(x) = nx ^ (n-1) #

Inými slovami, my si „požičiavame“ moc x a urobíme z nej koeficient derivácie a potom odpočítame 1 od sily.

#f (x) = x ^ 2 => f '(x) = 2x ^ 1 #

#f (x) = x ^ 7 => f '(x) = 7x ^ 6 #

#f (x) = x ^ (1/2) => f '(x) = 1/2 * x ^ (- 1/2) #

Ako som už spomenul, špeciálnym prípadom je kde n = 0. To znamená, že

# F (x) = x ^ 0 = 1 #

Môžeme použiť naše pravidlo a technicky dostať správnu odpoveď:

#f '(x) = 0x ^ -1 = 0 #

Neskôr na trati však narazíme na komplikácie, keď sa pokúšame použiť inverziu tohto pravidla.

odpoveď:

# y ^ '= nx ^ (n-1) #

Nižšie sú dôkazy pre každé číslo, ale len dôkaz pre všetky celé čísla použiť základné zručnosti definície derivátov. Dôkaz pre všetky racionály používa pravidlo reťazca a pre iracionály používa implicitnú diferenciáciu.

vysvetlenie:

Ako som povedal, ukážem im všetky tu, aby ste pochopili proces. Dajte si pozor # Vôľa # byť dosť dlhé.

z #y = x ^ (n) #, ak #n = 0 # máme #y = 1 # a derivácia konštanty je nula.

ak # N # je akékoľvek iné kladné číslo, ktoré môžeme hodiť do derivačného vzorca a použiť binomický veta na vyriešenie neporiadku.

#y = lim_ (h rarr 0) ((x + h) ^ n - x ^ n) / h #

#y = lim_ (h rarr 0) (x ^ n + Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) - x ^ n) / h #

Kde # # K_i je vhodná konštanta

#y = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) / h #

Toto rozdelenie # # H

#y = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ nK_i * x ^ (n-i) h ^ (i-1) #

Prvý úrok môžeme zo súčtu vybrať

#y = lim_ (h rarr 0) K_1 * x ^ (n-1) + Sigma_ (i = 2) ^ nK_ix ^ (n-i) h ^ (i-1) #

Ak vezmeme do úvahy limit, všetko ostatné, čo je stále v súčte, sa dostane na nulu. výpočet # # K_1 vidíme, že sa rovná # N #, takže

#y = K_1 * x ^ (n-1) = nx ^ (n-1) #

pre # N # ktoré sú záporné celé čísla je to trochu zložitejšie. Vediac, že # x ^ -n = 1 / x ^ b #, také #b = -n # a preto je pozitívny.

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h (1 / (x + h) ^ b - 1 / x ^ b) #

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - (x + h) ^ b) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - x ^ b - Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ i) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

#y = lim_ (h rarr 0) ((- Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (b-i) h ^ (i-1) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

Vyberte prvý termín

#y = lim_ (h rarr 0) ((- K_1x ^ (b-1) - Sigma_ (i = 2) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ (i-1) / (x ^ b (x + h)) ^ b)) #

Vezmite limit, Kde # K_1 = b #, ktoré sa vrátili späť # N #

#y = -K_1x ^ (b-1) / (x ^ b * x ^ b) = -K_1x ^ (b-1-2b) = -K_1x ^ (- b-1) = nx ^ (n-1) #

Pre racionály musíme použiť pravidlo reťazca. tj.: # f (g (x)) ^ '= f ^' (g (x)) g ^ '(x) #

Takže, vediac to # x ^ (1 / n) = root (n) (x) # a predpoklad #n = 1 / b # máme

# (x ^ n) ^ b = x #

ak # B # je dokonca, odpoveď je technicky # | X | # ale to je dosť blízko pre naše účely

Takže pomocou reťazca pravidlo máme

# x ^ n ^ '= 1 / (bx ^ (nb-n)) = 1 / (bx ^ (1-n)) = nx ^ (n - 1) #

A v neposlednom rade pomocou implicitnej diferenciácie môžeme dokázať pre všetky reálne čísla, vrátane iracionálnych.

#y = x ^ n #

#ln (y) = n * ln (x) #

#y ^ '/ y = n / x #

# y ^ '= (nx ^ n) / x = nx ^ (n-1) #