Tri Gréci, traja Američania a traja Taliani sedia náhodne okolo okrúhleho stola. Aká je pravdepodobnosť, že ľudia v troch skupinách sedia spolu?

odpoveď:

#3/280#

vysvetlenie:

Poďme počítať, ako by všetky tri skupiny mohli sedieť vedľa seba, a porovnať ich s počtom spôsobov, ktorými by všetkých 9 mohlo byť náhodne posadených.

Budeme počítať ľudí 1 až 9 a skupiny #A, G, I. #

#stackrel Overbrace (1, 2, 3), stackrel G overbrace (4, 5, 6), stackrel I overbrace (7, 8, 9) #

Existujú 3 skupiny, takže tam sú #3! = 6# spôsoby usporiadania skupín v riadku bez narušenia ich interných objednávok:

#AGI, AIG, GAI, GIA, IAG, IGA #

Doteraz nám to dáva 6 platných povolení.

V každej skupine sú 3 členovia, takže tam sú opäť #3! = 6# spôsoby usporiadania členov v každej z troch skupín:

#123, 132, 213, 231, 312, 321#

#456, 465, 546, 564, 645, 654#

#789, 798, 879, 897, 978, 987#

V kombinácii so 6 spôsobmi usporiadania skupín máme teraz #6^4# platné permutácie.

A keďže sme na okrúhlom stole, umožňujeme 3 dojednania, kde prvá skupina môže byť "polovica" na jednom konci a "polovica" na druhej strane:

# "A A A G G G I I I" #

# "A A G G I I I I" #

# "A G G G I I I A A" #

Počet úplných spôsobov, ako spojiť všetky 3 skupiny, je # 6 ^ 4 xx 3. #

Počet náhodných spôsobov, ako usporiadať všetkých 9 ľudí #9!#

Pravdepodobnosť náhodného výberu jedného z "úspešných" spôsobov je potom

# (6xx6xx6xx6xx3) / (9xx8xx7xx6xx5xx4xx3xx2xx1) #

# = (3) / (2xx7xx5xx4) #

#=3/280#

Okolo veľkého okrúhleho stola sa nachádza 40 rovnako rozložených miest. Aké číslo sedadla je priamo oproti sedadlu 32?

=> 12 Toto môže byť reprezentované kusovou funkciou v závislosti od čísla sedadla n v ZZ, kde 1 <= n <= 40. Sedadlo priamo oproti číslu sedadla n, nazýva ho a (n), bude dané ako: (n) = {(n + 20 "," n <= 20), (n-20 "," n> 20 "):} Takže pre n = 32 dostaneme: a (32) = 32-20 = 12

Tri karty sú náhodne vybrané zo skupiny 7. Dve z kariet boli označené výhernými číslami. Aká je pravdepodobnosť, že presne jedna z troch kariet má výherné číslo?

K dispozícii sú 7C_3 spôsoby výberu 3 kariet z balíčka. To je celkový počet výsledkov. Ak skončíte s 2 neoznačenými a 1 označenou kartou: existuje 5C_2 spôsobov výberu 2 neoznačených kariet z 5 a 2C_1 spôsobov výberu 1 označených kariet z 2. Takže pravdepodobnosť je: (5C_2 cdot 2C_1) / ( 7C_3) = 4/7

Dvanásť študentov sedí okolo kruhového stola. Nech sú traja študenti A, B a C. Nájdite pravdepodobnosť, že A nebude sedieť vedľa B alebo C?

Zhruba 65,5% Povedzme, že existuje 12 miest a ich počet je 1 - 12. Položme A do sedadla 2. To znamená, že B a C nemôžu sedieť na sedadlách 1 alebo 3. Ale môžu sedieť všade inde. Pracujme najprv s B. Tam sú 3 miesta, kde B nemôže sedieť, a tak B môže sedieť v jednom zo zvyšných 9 miest. V prípade C je teraz 8 miest, kde môže sedieť C (tri, ktoré sú zakázané sedením na alebo blízko A a sedadlom obsadeným B). Zostávajúcich 9 ľudí môže sedieť v niektorom zo zvyšných 9 miest. Môžeme to vyjadriť ako 9! Dáme vše