Ako zistíte vrchol kvadratickej rovnice?

odpoveď:

Použite vzorec # -B / (2a) # pre súradnicu x a potom ju zapojte, aby ste našli y.

vysvetlenie:

Kvadratická rovnica je napísaná ako # Ax ^ 2 + bx + c # vo svojej štandardnej forme. Vrchol možno nájsť pomocou vzorca # -B / (2a) #.

Predpokladajme napríklad, že naším problémom je zistiť vrchol (x, y) kvadratickej rovnice # X ^ 2 + 2-3 #.

1) Vyhodnoťte hodnoty a, b a c. V tomto príklade a = 1, b = 2 a c = -3

2) Zapojte svoje hodnoty do vzorca # -B / (2a) #, Pre tento príklad dostanete #-2/(2*1)# ktoré možno zjednodušiť na -1.

3) Práve ste našli súradnicu x vášho vrcholu! Teraz zapojte -1 pre x v rovnici, aby ste zistili súradnicu y.

4) # (- 1) ^ 2 + 2 (1) -3 = y #.

5) Po zjednodušení vyššie uvedenej rovnice dostanete: 1-2-3, ktorá sa rovná -4.

6) Vaša posledná odpoveď je (-1, -4)!

Dúfam, že to pomohlo.

odpoveď:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 # má vrchol na # (- (b) / (2a), - (b ^ 2 - 4ac) / (4a)) #

vysvetlenie:

Zvážte všeobecný kvadratický výraz:

# f (x) = ax ^ 2 + bx + c = 0 #

a jej pridružená rovnica # F (x) = 0 #:

# => ax ^ 2 + bx + c = 0 #

S koreňmi, # Alfa # a # Beta #.

Vieme (podľa symetrie - viď nižšie pre dôkaz), že vrchol (buď maximum alebo minimum) je stredový bod dvoch koreňov, #X#-koordinát vrcholu je:

# x_1 = (alfa + beta) / 2 #

Spomeňte si však na dobre študované vlastnosti:

# {: ("súčet koreňov", = alfa + beta, = -b / a), ("produkt koreňov", = alfa beta, = c / a):} #

teda:

# x_1 = - (b) / (2a) #

Dáva nám:

# f (x_1) = a (- (b) / (2a)) 2 + b (- (b) / (2a)) + c #

# (b ^ 2) / (4a) - b ^ 2 / (2a) + c #

# (4ac - b ^ 2) / (4a) #

# - (b ^ 2 - 4ac) / (4a) #

teda:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 # má vrchol na # (- (b) / (2a), - (b ^ 2 - 4ac) / (4a)) #

Dôkaz o strednom bode:

Ak máme

# f (x) = ax ^ 2 + bx + c = 0 #

Potom, diferencujúc wrt #X#:

# f '(x) = 2ax + b #

V kritickom bode, prvý derivát, # F '(x) # zmizne, čo vyžaduje, aby:

# f '(x) = 0 #

#:. 2ax + b = 0 #

#:. x = -b / (2a) # t QED