Ako dokazujete (1 - sin x) / (1 + sin x) = (sek x + tan x) ^ 2?

odpoveď:

Použite niekoľko trig identity a zjednodušte. Pozri nižšie.

vysvetlenie:

Verím, že v otázke je chyba, ale nie je to veľký problém. Aby to dávalo zmysel, otázka by mala znieť:

# (1-sinx) / (1 + sinx) = (secx - tanx) ^ 2 #

V každom prípade začneme s týmto výrazom:

# (1-sinx) / (1 + sinx) #

(Pri preukazovaní identít triglyceridov je vo všeobecnosti najlepšie pracovať na strane, ktorá má zlomok).

Použime čistý trik s názvom konjugované násobenie, kde zlomok vynásobíme menovateľom konjugovaná:

# (1-sinx) / (1 + sinx) * (1-sinx) / (1-sinx) #

# = ((1-sinx) (1-sinx)) / ((1 + sinx) (1-sinx)) #

# = (1-sinx) ^ 2 / ((1 + sinx) (1-sinx)) #

Konjugát # A + b # je # A-b #, takže konjugát # 1 + sinx # je # 1-sinx #; množíme sa # (1-sinx) / (1-sinx) # na vyváženie frakcie.

Poznač si to # (1 + sinx) (1-sinx) # je vlastne rozdiel štvorcov, ktorý má vlastnosť:

# (A-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 #

Tu to vidíme # A = 1 # a # B = sinx #, takže:

# (1 + sinx) (1-sinx) = (1) ^ 2- (sinx) ^ 2 = 1-sin ^ # 2x

Z Pythagorean Identity # Sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #z toho vyplýva (po odpočítaní) # Sin ^ # 2x z oboch strán), # Cos ^ 2x = 1-sin ^ # 2x.

Wow, šli sme z # (1-sinx) / (1-sinx) # na # 1-sin ^ # 2x na # Cos ^ # 2x! Náš problém teraz vyzerá takto:

# (1-sinx) ^ 2 / cos ^ 2x = (secx-Tanx) ^ 2 #

Rozbaľme čitateľ:

# (1-2sinx + sin ^ 2x) / cos ^ 2x = (secx-Tanx) ^ 2 #

(Pamätajte: # (A-b) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 #)

Teraz rozdelíme zlomky:

# 1 / cos ^ 2x- (2sinx) / cos ^ 2x + sin ^ 2x / cos ^ # 2x

# = Sek ^ 2x-2 * sinx / cosx * 1 / cosx + sin ^ 2x / cos ^ # 2x

# = Sek ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ # 2x

Ako zjednodušiť že ? Pamätajte si, keď som povedal: # (A-b) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 #'?

Ukazuje sa, že # S ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ # 2x je vlastne # (Secx-Tanx) ^ 2 #, Ak necháme # A = secx # a # B = Tanx #môžeme vidieť, že tento výraz je:

#underbrace ((a) ^ 2) _secx-2 (a) (b) + underbrace ((b) ^ 2) _tanx #

Čo, ako som práve povedal, je ekvivalentné # (A-b) ^ 2 #, vymeniť # A # s # # Secx a # B # s # # Tanx a dostanete:

# S ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x = (secx-Tanx) ^ 2 #

Dokončili sme prood:

# (Secx-Tanx) ^ 2 = (secx-Tanx) ^ 2 #

Ako definujete konvergenciu, ako dokazujete, že sekvencia {5+ (1 / n)} konverguje z n = 1 do nekonečna?

Nech: a_n = 5 + 1 / n potom pre ľubovoľné m, nv NN s n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) ako n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m-1 / n a ako 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Vzhľadom na akékoľvek reálne číslo epsilon> 0 vyberte potom celé číslo N> 1 / epsilon. Pre všetky celé čísla m, n> N máme: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon, ktorý dokazuje Cauchyho stav pre konvergenciu sekvencie.

Ako definujete konvergenciu, ako dokazujete, že sekvencia {2 ^ -n} konverguje z n = 1 do nekonečna?

Použite vlastnosti exponenciálnej funkcie na určenie N, ako napríklad | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon pre každé m, n> N Definícia konvergencie uvádza, že {a_n} konverguje ak: AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon Takže, dané epsilon> 0 sa N> log_2 (1 / epsilon) a m, n> N s m <n Ako m <n, (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 tak | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (mn)) Teraz ako 2 ^ x je vždy kladné, (1- 2 ^ (mn)) <1, takže 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) A ako 2

Ako definujete konvergenciu, ako dokazujete, že sekvencia lim 1 / (6n ^ 2 + 1) = 0 konverguje?

Vzhľadom na ľubovoľný počet epsilon> 0 vyberte M> 1 / sqrt (6epsilon), s M v NN. Potom pre n> = M máme: 6n ^ 2 + 1> 6n ^ 2> 6M ^ 2> = 6 / (6epsilon) = 1 / epsilon a tak: n> = M => 1 / (6n ^ 2 + 1) <epsilon, ktorý dokazuje limit.