Ako definujete konvergenciu, ako dokazujete, že sekvencia {5+ (1 / n)} konverguje z n = 1 do nekonečna?

nech:

#a_n = 5 + 1 / n #

potom pre každého # m, nv NN # s #n> m #:

#abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) #

#abs (a_m-a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) #

#abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) #

ako #n> m => 1 / n <1 / m #:

#abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n #

a ako # 1 / n> 0 #:

#abs (a_m-a_n) <1 / m #.

Vzhľadom na akékoľvek reálne číslo #epsilon> 0 #, potom vyberte celé číslo #N> 1 / epsilon #.

Pre všetky celé čísla # m, n> N # máme:

#abs (a_m-a_n) <1 / N #

#abs (a_m-a_n) <epsilon #

ktorý dokazuje Cauchyho stav pre konvergenciu sekvencie.