odpoveď:
Použite vlastnosti exponenciálnej funkcie na určenie N ako
vysvetlenie:
Definícia konvergencie uvádza, že. T
Takže, uvedené
ako
Teraz ako
A ako
Ale:
takže:
Q.e.d.
Ako definujete konvergenciu, ako dokazujete, že sekvencia {5+ (1 / n)} konverguje z n = 1 do nekonečna?
Nech: a_n = 5 + 1 / n potom pre ľubovoľné m, nv NN s n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) ako n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m-1 / n a ako 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Vzhľadom na akékoľvek reálne číslo epsilon> 0 vyberte potom celé číslo N> 1 / epsilon. Pre všetky celé čísla m, n> N máme: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon, ktorý dokazuje Cauchyho stav pre konvergenciu sekvencie.
Ako definujete konvergenciu, ako dokazujete, že sekvencia lim 1 / (6n ^ 2 + 1) = 0 konverguje?
Vzhľadom na ľubovoľný počet epsilon> 0 vyberte M> 1 / sqrt (6epsilon), s M v NN. Potom pre n> = M máme: 6n ^ 2 + 1> 6n ^ 2> 6M ^ 2> = 6 / (6epsilon) = 1 / epsilon a tak: n> = M => 1 / (6n ^ 2 + 1) <epsilon, ktorý dokazuje limit.
Ako nájdem konvergenciu alebo divergenciu tejto série? suma od 1 do nekonečna 1 / n ^ lnn
Konverguje Zvážte sériu sum_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ p, kde p> 1. Pomocou p-testu táto séria konverguje. Teraz, 1 / n ^ ln n <1 / n ^ p pre všetky dostatočne veľké n, ak p je konečná hodnota. Takže testom priameho porovnávania konverguje sum_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ lnn. V skutočnosti je hodnota približne rovná 2,2381813.