Ako dokázať, že séria sa zbieha?

odpoveď:

Konverzie pomocou testu priameho porovnania.

vysvetlenie:

Môžeme použiť priamy porovnávací test, pokiaľ máme

#sum_ (n = 1) ^ oocos (1 / k) / (9k ^ 2) #, IE, séria začína na jednej.

Ak chcete použiť priamy porovnávací test, musíme to dokázať # A_k = cos (1 / k) / (9k ^ 2) # je pozitívny # 1, oo) #.

Najskôr si všimnite, že na intervale # 1, oo), cos (1 / k) # je pozitívny. Pre hodnoty #X # # Cosx je v prvom kvadrante (a teda pozitívne). No, pre #k> = 1, 1 / k áno, #cos (1 / k) # je skutočne pozitívny.

Ďalej môžeme povedať #cos (1 / k) <= 1 #, as #lim_ (k-> oo) cos (1 / k) = cos (0) = 1 #.

Potom môžeme definovať novú sekvenciu

# B_k = 1 / (9k ^ 2)> = a_k # pre všetkých # K. #

No, #sum_ (k = 1) ^ OO1 / (9k ^ 2) = 1 / 9sum_ (k = 1) ^ OO1 / k ^ 2 #

Vieme, že to konverguje # P #sériový test, je vo forme # Sum1 / k ^ p # kde # P = 2> 1 #.

Potom, pretože väčšia séria konverguje, tak aj menšie série.

odpoveď:

Konverguje pomocou priameho porovnávacieho testu (podrobnosti pozri nižšie).

vysvetlenie:

Uvedomte si, že rozsah kosínusu je -1,1. Pozrite si graf #cos (1 / x) #:

graf {cos (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Ako vidíte, maximum hodnota, ktorú to dosiahneme, bude 1. Keďže sa tu len snažíme dokázať konvergenciu, nastavme čitateľa na 1 a ponecháme:

# Sum1 / (9k ^ 2) #

Teraz sa to stáva veľmi jednoduchý problém priameho porovnávacieho testu. Pripomeňme si, čo robí priamy porovnávací test:

Zoberme si svojvoľný rad # # A_n (nevieme, či konverguje / diverguje) a rad, pre ktorý poznáme konvergenciu / divergenciu, # # B_n:

ak #b_n> a_n # a # # B_n konverguje # # A_n tiež konverguje.

ak #b_n <a_n # a # # B_n diverguje # # A_n odlišuje.

Túto funkciu môžeme porovnať s #b_n = 1 / k ^ 2 #, Môžeme to urobiť, pretože vieme, že konverguje (kvôli p-testu).

Takže, pretože # 1 / k ^ 2> 1 / (9k ^ 2) #a # 1 / k ^ 2 # konverguje, môžeme povedať, že séria konverguje

Ale počkajte, len sme dokázali, že táto séria konverguje, keď čitateľ = 1. A čo všetky ostatné hodnoty #cos (1 / k) # mohol mať? No, pamätajte, že 1 je maximum hodnotu, ktorú by mohol čitateľ prevziať. Takže, pretože sme dokázali, že tento konverguje, nepriamo sme dokázali, že táto séria sa v čitateľovi zblížila pre akúkoľvek hodnotu.

Dúfam, že to pomohlo:)