Čo je integrál e ^ (x ^ 3)?

Tento integrál nemôžete vyjadriť ako elementárne funkcie.

V závislosti od toho, čo potrebujete pre integráciu, si môžete vybrať spôsob integrácie alebo iný.

Integrácia prostredníctvom výkonových radov

Pripomeňme, že # E ^ x # je analytické #mathbb {R} #, takže #forall xvhbb {R} # platí nasledujúca rovnosť

# E ^ x = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} x ^ n / {n!} #

a to znamená, že

# E ^ {x ^ 3} = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} (x ^ 3) ^ n / {n!} = Sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n} } / {n!} #

Teraz môžete integrovať:

#int e ^ {x ^ 3} dx = int (sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n}} / {n!}) dx = c + sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3 n + 1}} / {(3n + 1) n!} #

Integrácia pomocou funkcie Incomplete Gamma

Po prvé, nahradiť # T = -x ^ 3 #:

#int e ^ {x ^ 3} dx = - 1/3 int e ^ {- t} t ^ {- 2/3} dt #

Funkcia # E ^ {x ^ 3} # je kontinuálna. To znamená, že jeho primitívne funkcie sú #F: mathbb {R} na hbbb {R} # takýmto spôsobom

#F (y) = c + int_0 ^ y e ^ {x ^ 3} dx = c- 1/3 int_0 ^ {- y ^ 3} e ^ {- t} t ^ {- 2/3} dt #

a to je dobre definované, pretože funkcia # F (t) = e ^ {- t} t ^ {- 2/3} # je to také #t až 0 # platí #f (t) ~~ t ^ {- 2/3} #, takže nesprávny integrál # int_0 ^ s f (t) dt # je konečný (volám # Y = -y ^ 3 #).

Takže to máte

#int e ^ {x ^ 3} dx = c- 1/3 int_0 ^ s f (t) dt #

Všimnite si to #t ^ {- 2/3} <1 hArr t> 1 #, To znamená, že pre #t to + infty # dostaneme to #f (t) = e ^ {- t} * t ^ {- 2/3} <e ^ {- t} * 1 = e ^ {- t} #, takže # | int_1 ^ {+ infty} f (t) dt | <| int_1 ^ {+ infty} e ^ {- t} dt | = e #, Takže po nesprávnom integráli # F (t) # je konečný:

# c '= int_0 ^ {+ infty} f (t) dt = int_0 ^ {+ infty} e ^ {- t} t ^ {1/3 -1} dt = Gamma (1/3) #.

Môžeme písať:

#int e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 (int_0 ^ {+ infty} f (t) dt -int_s ^ {+ infty} f (t) dt) #

to je

#int e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 c '+1/3 int_s ^ {+ infty} e ^ {- t} t ^ {1/3 -1} dt #.

Nakoniec sa dostaneme

#int e ^ {x ^ 3} dx = C + 1/3 Gamma (1/3, t) = C + 1/3 Gamma (1/3, -x ^ 3) #