Jedno kladné číslo je o 3 menej ako dvakrát. Súčet ich štvorcov je 117. Aké sú celé čísla?

odpoveď:

#9# a #6#

vysvetlenie:

Štvorce prvých kladných celých čísel sú:

#1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100#

Jediní dvaja, ktorých súčet #117# sú #36# a #81#.

Vyhovujú podmienkam, pretože:

#COLOR (modrá), (6) * 2-3 = farba (modrá), (9) #

a:

#color (modrá) (6) ^ 2 + farba (modrá) (9) ^ 2 = 36 + 81 = 117 #

Takže dve celé čísla sú #9# a #6#

Ako by sme ich mohli nájsť viac formálne?

Predpokladajme, že celé čísla sú # M # a # N #, s:

#m = 2n-3 #

potom:

# 117 = m ^ 2 + n ^ 2 = (2n-3) ^ 2 + n ^ 2 = 4n ^ 2-12n + 9 + n ^ 2 = 5n ^ 2-12n + 9 #

takže:

# 0 = 5 (5n ^ 2-12n-108) #

#color (biela) (0) = 25n ^ 2-60n-540 #

#color (biela) (0) = (5n) ^ 2-2 (5n) (6) + 6 ^ 2-576 #

#color (biela) (0) = (5n-6) ^ 2-24 ^ 2 #

#color (biela) (0) = ((5n-6) -24) ((5n-6) +24) #

#color (biela) (0) = (5n-30) (5n + 18) #

#color (biela) (0) = 5 (n-6) (5n + 18) #

Z toho dôvodu:

#n = 6 "" # alebo # "" n = -18 / 5 #

Zaujímame sa len o kladné celočíselné riešenia:

#n = 6 #

potom:

#m = 2n-3 = 2 (farba (modrá) (6)) - 3 = 9 #