Ako vyriešim 2sinx = cos (x / 3)?

odpoveď:

Naše približné riešenia sú:

# x = {163.058 ^ circ, 703.058 ^ circ, 29.5149 ^ circ, 569.51 ^ circ, -192.573 ^ circ alebo -732.573 ^ circ} + 1080 ^ circ k quad #

pre celé číslo # K #.

vysvetlenie:

# 2 sin x = cos (x / 3) #

Toto je dosť ťažké.

Začnime nastavením # Y = x / 3 # tak # X = 3r # a nahradenie. Potom môžeme použiť vzorec trojitého uhla:

# 2 sin (3y) = cos y #

# 2 (3 sin y - 4 sin ^ 3 y) = cos y #

Poďme na námestie, takže všetko napíšeme # sin ^ 2 y #, To pravdepodobne zavedie cudzie korene.

# 4 sin ^ 2y (3 - 4 sin ^ 2y) ^ 2 = cos ^ 2 y = 1 - sin ^ 2 y #

nechať # s = sin ^ 2 y #, Štvorcové sine sú nazývané nátierky v Rational Trigonometry.

# 4 s (3 - 4 s) ^ 2 = 1 - s #

# 4 s (9 - 24 s + 16 s ^ 2) = 1 - s #

# 64 s ^ 3 - 96 s ^ 2 + 37 s - 1 = 0 #

To je kubická rovnica s tromi skutočnými koreňmi, kandidátmi na štvorcové sine # 3x. # Mohli by sme použiť kubický vzorec, ale to povedie len k tomu, že niektoré kocky budú mať komplexné čísla, ktoré nie sú obzvlášť užitočné. Zoberme si numerické riešenie:

# s 0.66035 alebo s 0.029196 alebo s 0.81045 #

#x = 3y = 3 arcsin (pm sqrt {s}) #

Pracujme v stupňoch. Naše potenciálne približné riešenia sú:

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.66035}) približne pm 163.058 ^ circ alebo pm 703.058 ^ circ #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.029196}) približne pm 29.5149 ^ circ alebo pm 569.51 ^ circ #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.81045}) približne pm 192.573 ^ circ alebo pm 732.573 ^ circ #

Uvidíme, či niektorá z týchto prác. nechať #e (x) = 2 sin x - cos (x / 3) #

#e (163.058 ^ circ) približne 0.00001 quad # to je riešenie.

#e (-163.058 ^ circ) približne -1.17 quad # nie je riešením.

Jednoznačne najviac jeden z #popoludnie# pár bude fungovať.

Desať viac ísť.

#e (703.058 ^ circ) približne 0.00001 quad sqrt #

#e (-703.058 ^ circ) quad # nie

#e (29,5149 ^ circ) približne 10 ^ {- 6} quad sqrt #

#e (-29,5149 ^ circ) quad # nie

#e (569,51 ^ circ) približne 10 ^ {- 4} quad sqrt #

#e (-569,51 ^ circ) quad # nie

#e (192,573 ^ circ) pribl. nie

#e (-192,573 ^ circ) približne 0,00001 quad sqrt #

#e (732,573 ^ circ) približne -87 quad # nie

#e (-732,573 ^ circ) približne 0,00001 quad sqrt #

Arcsin je dodávaný s # + 360 ^ circ k #, a faktor tri robí to # 1080 ^ circ k.

Naše približné riešenia sú:

# x = {163.058 ^ circ, 703.058 ^ circ, 29.5149 ^ circ, 569.51 ^ circ, -192.573 ^ circ, -732.573 ^ circ} + 1080 ^ circ k quad # pre celé číslo # K #.