Otázka č. 0df97

odpoveď:

Odpoveď na 4 je # E ^ -2 #.

vysvetlenie:

Problém je:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Teraz je to ťažký problém. Riešenie spočíva vo veľmi starostlivom rozpoznaní vzoru. Môžete si spomenúť na definíciu # E #:

# E = lim_ (u> oo) (1 + 1 / u) ^ u ~~ 2,718 … #

Ak by sme mohli prepísať limit ako niečo podobné definícii # E #, mali by sme odpoveď. Skúsme to.

Poznač si to #lim_ (x-> oo) ((2x + 2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) # je ekvivalentná:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 4-2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Frakcie môžeme rozdeliť takto:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 4) / (2x + 4) -2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

# = Lim_ (x-> oo) (1-2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Dostávame sa tam! Poďme faktor a #-2# zhora a zdola:

#lim_ (x-> oo) (1-2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

# = Lim_ (x-> oo) (1 + ((- 2)) / (- 2 (X-2))) ^ (2x + 2) #

# -> lim_ (x-> oo) (1+ (zrušiť (-2)) / (zrušiť (-2) (- x-2))) ^ (2x + 2) #

# = Lim_ (x-> oo) (1 + 1 / (- x-2)) ^ (2x + 2) #

Aplikujme substitúciu # U = -x-2-> x = -2-u #:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / (- x-2)) ^ (2x + 2) #

# = (1 + 1 / u) ^ (2 (2-u) + 2 #

# = (1 + 1 / u) ^ (- 4-2u + 2) #

# = (1 + 1 / u) ^ (- 2U-2) #

Vlastnosti exponentov hovoria: # X ^ (A + B) = x ^ ax ^ b #

tak #lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2U-2) # je ekvivalentná:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2U) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

Vlastnosti exponentov tiež hovoria, že: # X ^ (ab) = x ^ (a ^ b) #

To znamená, že sa ďalej znižuje na:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = Lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

Podľa definície, #lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (u) = e #; a použitím priamej substitúcie na druhom limite výnosov: t

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = 1 / (1 + 1 / oo) ^ (2) #

#=1/(1+0)^(2)#

#=1/1^(2)=1#

Takže riešenie je …

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = (E) ^ - 2 (1) #

# = E ^ -2 #