Ako rozšíriť v Maclaurin série to? f (x) = INT_0 ^ xlog (1-t) / TDT

odpoveď:

#f (x) = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n 1) ^ 2 #

Vizuálne: Pozrite si tento graf

vysvetlenie:

Nemôžeme jednoznačne hodnotiť tento integrál, pretože používa akúkoľvek z bežných techník integrácie, ktoré sme sa naučili. Keďže ide o jednoznačný integrál, môžeme použiť sériu MacLaurin a robiť to, čo sa nazýva termín termínovou integráciou.

Musíme nájsť sériu MacLaurin. Keďže nechceme nájsť n-tú deriváciu tejto funkcie, budeme sa musieť pokúsiť zapracovať ju do jednej zo série MacLaurin, ktorú už poznáme.

Po prvé, nepáči sa nám # Log #; chceme, aby a # Ln #, Na tento účel môžeme jednoducho použiť zmenu základného vzorca:

#log (x) = ln (x) / ln (10) #

Takže máme:

# INT_0 ^ XLN (1-t) / (TLN (10)), dt #

Prečo to robíme? Teraz si to všimnite # d / dxln (1-t) = -1 / (1-t) # Prečo je to také zvláštne? No, # 1 / (1-x) # je jednou z našich bežne používaných sérií MacLaurin:

# 1 / (1-x) = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + … = súčet (n = 0) ^ oox ^ n #

…pre všetkých #X# na #(-1, 1#

Takže môžeme tento vzťah využiť v náš prospech a nahradiť ho #ln (1-t) # s # Int-1 / (1-t) dt #, ktorá nám to umožňuje nahradiť # Ln # s radom MacLaurin. Uvedenie tejto skutočnosti dáva:

#ln (1-t) / (tln (10)) = -1 / (tln (10)) int 1 + t + t ^ 2 + t ^ 3 + … + t ^ n dt #

Vyhodnotenie integrálu:

# = -1 / (tln (10)) t + t ^ 2/2 + t ^ 3/3 + t ^ 4/4 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) #

Zrušenie # T # termín v menovateli:

# = -1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1) # #

A teraz, berieme definitívny integrál, ktorý sme začali s problémom:

# int_0 ^ x (-1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1)) dt #

Poznámka: Všimnite si, ako sa teraz v tomto probléme nemusíme báť o delenie nulou, čo je problém, ktorý sme mali v pôvodnom integrande kvôli # T # v menovateli. Keďže toto bolo zrušené v predchádzajúcom kroku, ukazuje, že diskontinuita je odnímateľná, čo pre nás funguje dobre.

# = -1 / (ln (10)) t + t ^ 2/4 + t ^ 3/9 + t ^ 4/16 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 # hodnotené z #0# na #X#

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 - 0 #

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 #

Uistite sa však, že si uvedomujete, že táto séria je v intervale dobrá #(1, 1#, pretože rad MacLaurin, ktorý sme použili vyššie, je v tomto intervale len konvergentný. Pozrite sa na tento graf, ktorý som urobil, aby som získal lepšiu predstavu o tom, ako to vyzerá.

Dúfam, že to pomohlo:)