Aké sú asymptoty a otvory, ak existujú, f (x) = xsin (1 / x)?

odpoveď:

Pozri nižšie.

vysvetlenie:

No, je tu očividne diera # X = 0 #, pretože rozdelenie podľa #0# nie je možné.

Môžeme grafovať funkciu:

graf {xsin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Neexistujú žiadne iné asymptoty alebo diery.

odpoveď:

# F (x) # má otvor (odnímateľnú nespojitosť) na # X = 0 #.

Má tiež horizontálnu asymptotu # Y = 1 #.

Nemá žiadne vertikálne ani šikmé asymptoty.

vysvetlenie:

Vzhľadom na to:

#f (x) = x sin (1 / x) #

Budem používať niekoľko vlastností #sin (t) #, menovite:

• #abs (sin t) <= 1 "" # pre všetky skutočné hodnoty. t # T #.

• #lim_ (t-> 0) sin (t) / t = 1 #

• #sin (-t) = -sin (t) "" # pre všetky hodnoty # T #.

Najskôr si všimnite, že # F (x) # je párna funkcia:

#f (-x) = (-x) hriech (1 / (- x)) = (-x) (- hriech (1 / x)) = x hriech (1 / x) = f (x) #

Nájdeme:

#abs (x sin (1 / x)) = abs (x) abs (sin (1 / x)) <= abs (x) #

takže:

# 0 <= lim_ (x-> 0+) abs (x sin (1 / x)) <= lim_ (x-> 0+) abs (x) = 0 #

Pretože toto je #0#, takže je #lim_ (x-> 0+) x sin (1 / x) #

Tiež, pretože # F (x) # je dokonca:

#lim_ (x-> 0 ^ -) x sin (1 / x) = lim_ (x-> 0 ^ +) x sin (1 / x) = 0 #

Poznač si to # F (0) # je nedefinované, pretože zahŕňa rozdelenie podľa #0#, ale existujú ľavé aj pravé hranice a súhlasia # X = 0 #, takže tam má otvor (odnímateľnú nespojitosť).

Nájdeme tiež:

#lim_ (x-> oo) x sin (1 / x) = lim_ (t-> 0 ^ +) sin (t) / t = 1 #

podobne:

#lim_ (x -> - oo) x sin (1 / x) = lim_ (t-> 0 ^ -) sin (t) / t = 1 #

tak # F (x) # má horizontálnu asymptotu # Y = 1 #

graf {x sin (1 / x) -2,5, 2,5, -1,25, 1,25}