Ako zistíte int (x + 1) / (x (x ^ 2-1)) pomocou čiastkových zlomkov?

odpoveď:

Snažíte sa rozdeliť racionálnu funkciu na sumu, ktorá sa dá ľahko integrovať.

vysvetlenie:

Po prvé: # x ^ 2 - 1 = (x-1) (x + 1) #.

Čiastočný rozklad zlomkov vám umožňuje:

# (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) = (x + 1) / (x (x-1) (x + 1)) = 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1) # s # a, bv RR # ktoré musíte nájsť.

Aby ste ich našli, musíte znásobiť obe strany jedným z polynómov na ľavej strane rovnosti. Ukážem vám jeden príklad, iný koeficient sa nachádza rovnakým spôsobom.

Nájdeme # A # Musíme všetko rozmnožiť #X# aby sa ostatné koeficienty stratili.

# 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1) iff 1 / (x-1) = a + (bx) / (x-1) #.

#x = 0 iff -1 = a #

Robíte to isté, aby ste našli # B # (vynásobíte všetko # (X-1) # potom si vyberiete #x = 1 #), a zistíte, že #b = 1 #.

tak # (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) = 1 / (x-1) - 1 / x #, čo znamená, že #int (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) dx = int (1 / (x-1) - 1 / x) dx = intdx / (x-1) - intdx / x = lnabs (x-1) - lnabsx #

Ako zistíte int 3 / ((1 + x) (1 - 2x)) dx pomocou čiastkových zlomkov?

Ln ((1 + x) / (1 - 2x)) + C Nech 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) = = (A / (1 + x) + B / (1 - 2x) ) Rozširujeme pravú stranu, dostaneme (A * (1 - 2x) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) Rovnica, dostaneme (A * (1 - 2x) ) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) = 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) tj A * (1 - 2x) + B * (1 + x) = 3 alebo A - 2Ax + B + Bx = 3 alebo (A + B) + x * (- 2A + B) = 3 rovnica koeficientu x až 0 a rovníc s rovnicami, dostaneme A + B = 3 a -2A + B = 0 Riešenie pre A & B, dostaneme A = 1 a B = 2 Nahradenie v integrácii, dostaneme int 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) dx = int (1 / (1 + x) + 2 / (1 - 2x)) dx = int

Ako integrujete int (x + 1) / (x ^ 2 + 6x) pomocou čiastkových zlomkov?

= int (x + 1) / (x ^ 2 + 6x) d x int (x + 1) / (x ^ 2 + 6x) d x

Ako integrujete int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) pomocou čiastkových zlomkov?

Int (4x2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) -2 / (x + 1) + C_o Nastavte rovnicu pre premenné A, B, C int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (A / (x-1) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2) dx Vyriešme najprv A, B, C (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ) ^ 2) = A / (x-1) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2 LCD = (x-1) (x + 1) ^ 2 (4x ^ 2 + 6x -2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (A (x + 1) ^ 2 + B (x ^ 2-1) + C (x-1)) / ((x- 1) (x + 1) ^ 2) Zjednodušte (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (A (x ^ 2 + 2x + 1) + B ( x ^ 2-1 + C (x-1)) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (Ax ^ 2