Dva rohy rovnoramenného trojuholníka sú na (1, 3) a (9, 4). Ak je plocha trojuholníka 64, aké sú dĺžky strán trojuholníka?

odpoveď:

Dĺžky strán trojuholníka sú:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

vysvetlenie:

Vzdialenosť medzi dvoma bodmi # (x_1, y_1) # a # (x_2, y_2) # je daná vzorcom vzdialenosti:

#d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Takže vzdialenosť medzi # (x_1, y_1) = (1, 3) # a # (x_2, y_2) = (9, 4) # je:

#sqrt ((9-1) ^ 2 + (4-3) ^ 2 = sqrt (64 + 1) = sqrt (65) #

čo je iracionálne číslo o niečo väčšie ako #8#.

Ak jedna z ostatných strán trojuholníka mala rovnakú dĺžku, potom maximálna možná plocha trojuholníka by bola:

# 1/2 * sqrt (65) ^ 2 = 65/2 <64 #

Takže to tak nemôže byť. Namiesto toho musia mať ostatné dve strany rovnakú dĺžku.

Vzhľadom na trojuholník so stranami # a = sqrt (65), b = t, c = t #, môžeme použiť Heronov vzorec na nájdenie jeho oblasti.

Herónsky vzorec nám hovorí, že oblasť trojuholníka so stranami #a, b, c # a semi perimeter #s = 1/2 (a + b + c) # je daný:

#A = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)) #

V našom prípade je polomer:

#s = 1/2 (sqrt (65) + t + t) = t + sqrt (65) / 2 #

a Heronov vzorec nám hovorí, že:

# 64 = 1 / 2sqrt ((t + sqrt (65) / 2) (t-sqrt (65) / 2) (sqrt (65) / 2) (sqrt (65) / 2)) #

#color (biela) (64) = 1 / 2sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Vynásobte oba konce #2# získať:

# 128 = sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Obidve strany na námestí získajú:

# 16384 = 65/4 (t ^ 2-65 / 4) #

Vynásobte obidve strany pomocou #4/65# získať:

# 65536/65 = t ^ 2-65 / 4 #

Transponujte a pridajte #65/4# na obe strany:

# t ^ 2 = 65536/65 + 65/4 = 262144/260 + 4225/260 = 266369/260 #

Vezmite pozitívnu odmocninu z oboch strán, aby ste získali:

#t = sqrt (266369/260) #

Dĺžky strán trojuholníka sú:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Alternatívna metóda

Namiesto použitia Heronovho vzorca môžeme zdôvodniť nasledovné:

Vzhľadom na to, že základňa rovnoramenného trojuholníka má dĺžku:

#sqrt (8 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (65) #

Táto oblasť je # 64 = 1/2 "základňa" xx "výška" #

Výška trojuholníka je teda:

# 64 / (1/2 sqrt (65)) = 128 / sqrt (65) = (128sqrt (65)) / 65 #

Toto je dĺžka kolmej osi trojuholníka, ktorá prechádza stredom základne.

Takže ďalšie dve strany tvoria prepony dvoch pravouhlých trojuholníkov s nohami #sqrt (65) / 2 # a # (128sqrt (65)) / 65 #

Takže Pythagoras, každá z týchto strán má dĺžku:

#sqrt ((sqrt (65) / 2) ^ 2 + ((128sqrt (65)) / 65) ^ 2) = sqrt (65/4 + 65536/65) = sqrt (266369/260) #