Pre f (x) = xsin ^ 3 (x / 3), aká je rovnica dotyčnice v x = pi?

odpoveď:

# Y = 1.8276x-3,7 #

vysvetlenie:

Musíte nájsť deriváciu:

# F '(x) = (x)' sin ^ 3 (x / 3) + x * (sin ^ 3 (x / 3)), "#

V tomto prípade je derivácia trigonometrickej funkcie vlastne kombináciou 3 elementárnych funkcií. Sú to:

# # Sinx

# X ^ n #

# C * x #

Spôsob, akým sa to vyrieši, je takýto:

# (Sin ^ 3 (x / 3)) '= 3sin ^ 2 (x / 3) * (sin (x / 3))' = #

# = 3sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) (x / 3) "= #

# = 3sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) * 1/3 = #

# = Sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) #

Z tohto dôvodu:

# F '(x) = 1 * sin ^ 3 (x / 3) + x * sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) #

# F '(x) = sin ^ 3 (x / 3) + x * sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) #

# F '(x) = sin ^ 2 (x / 3) * (sin (x / 3) + xcos (x / 3)) #

Odvodenie rovnice dotyčnice:

# F '(x_0) = (y-f (x_0)) / (x-x_0) #

# F '(x_0) * (x-x_0) = y-f (x_0) #

# Y = f '(x_0) * x-f' (x_0) * x_0 + f (x_0) #

Nahradenie nasledujúcich hodnôt:

# X_0 = π #

# F (x_0) = f (π) = π * sin ^ 3 (π / 3) = 2,0405 #

# F '(x_0) = f' (n) = sin ^ 2 (π / 3) * (sin (π / 3) + πcos (tí / 3)) = 1.8276 #

Preto sa rovnica stáva:

# Y = 1.8276x-1,8276 * π + 2,0405 #

# Y = 1.8276x-3,7 #

V nižšie uvedenom grafe vidíte na # X = π = 3,14 # dotyčnica sa skutočne zvyšuje a pretína os y'y na #Y <0 #

graf {x (sin (x / 3)) ^ 3 -1,53, 9,57, -0,373, 5,176}