Dokážte, že nastavená sila je pole?

odpoveď:

Sila množiny množiny je komutatívny kruh pod prirodzenými operáciami únie a križovatky, ale nie pole pod týmito operáciami, pretože nemá inverzné prvky.

vysvetlenie:

Vzhľadom k akejkoľvek sady `S`, zvážte nastavenie výkonu `2 ^ S` z `S`.

To má prirodzené fungovanie únie UU ktorý sa správa ako pridanie, s identitou `O /` a križovatke `Nn` ktorý sa chová ako násobenie s identitou `S`.

Podrobnejšie:

• `2 ^ S` je zatvorená pod UU

  ak `A, B v 2 ^ S` potom `A uu B v 2 ^ S`

• Existuje identita `O / v 2 ^ S` pre UU

  ak `A v 2 ^ S` potom `A uu O / = O / uu A = A`

• UU je asociatívny

  ak `A, B, C v 2 ^ S` potom `A uu (B uu C) = (A uu B) uu C`

• UU je komutatívna

  ak `A, B v 2 ^ S` potom `A uu B = B uu A`

• `2 ^ S` je zatvorená pod `Nn`

  ak `A, B v 2 ^ S` potom `A nn B v 2 ^ S`

• Existuje identita `S v 2 ^ S` pre `Nn`

  ak `A v 2 ^ S` potom `A nn S = S nn A = A`

• `Nn` je asociatívny

  ak `A, B, C v 2 ^ S` potom `Ann (Bnn C) = (A nn B) nn C`

• `Nn` je komutatívna

  ak `A, B v 2 ^ S` potom `A nn B = B nn A`

• `Nn` je rozdelené doľava a doprava UU

  ak `A, B v 2 ^ S` potom `Ann (B uu C) = (A nn B) uu (A nn C)`

  a `(A uu B) nn C = (A nn C) uu (Bnn C)`

tak `2 ^ S` spĺňa všetky požadované axiómy, aby bol komutatívny kruh s pridaním UU a násobenie `Nn`.

ak `S = O /` potom `2 ^ S` má jeden prvok, a to `O /`, takže nemá odlišné aditívne a multiplikatívne identity, a preto nie je pole.

V opačnom prípade si to všimnite `S` nemá žiadnu inverznú hodnotu pod UU a `O /` nemá žiadnu inverznú hodnotu pod `Nn`, tak `2 ^ S` nevytvára pole kvôli nedostatku inverzných prvkov.