Dokážte, že nastavená sila je pole?

odpoveď:

Sila množiny množiny je komutatívny kruh pod prirodzenými operáciami únie a križovatky, ale nie pole pod týmito operáciami, pretože nemá inverzné prvky.

vysvetlenie:

Vzhľadom k akejkoľvek sady # S #, zvážte nastavenie výkonu # 2 ^ S # z # S #.

To má prirodzené fungovanie únie # # UU ktorý sa správa ako pridanie, s identitou # O / # a križovatke # Nn # ktorý sa chová ako násobenie s identitou # S #.

Podrobnejšie:

• # 2 ^ S # je zatvorená pod # # UU

  ak #A, B v 2 ^ S # potom #A uu B v 2 ^ S #

• Existuje identita # O / v 2 ^ S # pre # # UU

  ak #A v 2 ^ S # potom #A uu O / = O / uu A = A #

• # # UU je asociatívny

  ak #A, B, C v 2 ^ S # potom #A uu (B uu C) = (A uu B) uu C #

• # # UU je komutatívna

  ak #A, B v 2 ^ S # potom #A uu B = B uu A #

• # 2 ^ S # je zatvorená pod # Nn #

  ak #A, B v 2 ^ S # potom #A nn B v 2 ^ S #

• Existuje identita #S v 2 ^ S # pre # Nn #

  ak #A v 2 ^ S # potom #A nn S = S nn A = A #

• # Nn # je asociatívny

  ak #A, B, C v 2 ^ S # potom #Ann (Bnn C) = (A nn B) nn C #

• # Nn # je komutatívna

  ak #A, B v 2 ^ S # potom #A nn B = B nn A #

• # Nn # je rozdelené doľava a doprava # # UU

  ak #A, B v 2 ^ S # potom #Ann (B uu C) = (A nn B) uu (A nn C) #

  a # (A uu B) nn C = (A nn C) uu (Bnn C) #

tak # 2 ^ S # spĺňa všetky požadované axiómy, aby bol komutatívny kruh s pridaním # # UU a násobenie # Nn #.

ak #S = O / # potom # 2 ^ S # má jeden prvok, a to # O / #, takže nemá odlišné aditívne a multiplikatívne identity, a preto nie je pole.

V opačnom prípade si to všimnite # S # nemá žiadnu inverznú hodnotu pod # # UU a # O / # nemá žiadnu inverznú hodnotu pod # Nn #, tak # 2 ^ S # nevytvára pole kvôli nedostatku inverzných prvkov.