Ako môžete dokázať Poissonovo rozdelenie?

odpoveď:

# "Zobraziť vysvetlenie" #

vysvetlenie:

# "Trvá časové obdobie s dĺžkou" t ", skladajúcou sa z n kusov" #

#Delta t = t / n ". Predpokladajme, že šanca na úspešnú udalosť" #

# "v jednom kuse je" p ", potom celkový počet udalostí v n" #

# "časové kusy sú rozdelené binomicky podľa" #

#p_x (x) = C (n, x) p ^ x (1-p) ^ (n-x), x = 0,1, …, n #

# "s" C (n, k) = (n!) / ((n-k)! * (k!)) "(kombinácie)" #

# "Teraz sme pustili" #

# n-> oo ", takže" p-> 0, "ale" n * p = lambda #

# "Takže nahradíme" p = lambda / n "v" p_x ":" #

#p_x (x) = (n!) / ((x!) (n-x)!) (lambda / n) ^ x (1-lambda / n) ^ (n-x) #

# = lambda ^ x / (x!) (1-lambda / n) ^ n (n!) / ((n-x)!) * 1 / (n ^ x (1-lambda / n) ^ x) #

# = lambda ^ x / (x!) (1-lambda / n) ^ n (n (n-1) (n-2) … (n-x + 1) / (n (1-lambda) / n)) ^ x #

# "pre" n -> oo "čo je medzi …" -> 1 "a" # #

# (1 - lambda / n) ^ n -> e ^ -lambda "(Eulerov limit)," #

# "takže získavame" #

#p_x (x) = (lambda ^ x e ^ -lambda) / (x!), x = 0,1,2, …, oo #