Otázka č. 35a7e

odpoveď:

Ako je uvedené v komentároch nižšie, toto je rad MacLaurin pre #f (x) = cos (x) #a vieme, že sa to približuje # (- oo, oo) #, Ak ste však chceli vidieť proces:

vysvetlenie:

Keďže v menovateli máme faktoriál, používame pomerový test, pretože zjednodušuje zjednodušenia. Tento vzorec je:

#lim_ (n-> oo) (a_ (n + 1) / a_n) #

Ak je to <1, vaša séria konverguje

Ak je to> 1, vaša séria sa odlišuje

Ak je to = 1, test nie je jednoznačný

Urobme to takto:

#lim_ (k-> oo) abs ((-! 1) ^ (k + 1) (x ^ (2k + 2) / ((2k + 2))) * (- 1) ^ k ((2k)!) / (x ^ (2k)) #

Poznámka: Buďte veľmi opatrní pri zapájaní (k + 1). 2k sa zmení na 2 (k + 1), NIE 2k + 1.

Vynásobil som ich vzájomnosťou # X ^ (2k) / ((2k)!) # namiesto rozdelenia, aby sa práca trochu zjednodušila.

Teraz, poďme algebra. Vzhľadom na absolútnu hodnotu, naše alternatívne výrazy (t. J. # (- 1) ^ k #) sa práve chystajú zrušiť, pretože vždy budeme mať pozitívnu odpoveď:

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) ((2k)!) / (x ^ (2k)) #

Môžeme zrušiť naše # X ^ (2k) #, S:

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ 2 / ((2k + 2)!) * ((2k)!) #

Teraz musíme zrušiť faktoriály.

Pripomeňme, že # (2k)! = (2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1 #

tiež # (2k + 2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * (2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1 #

Všimnite si:

# (2k)! = farba (červená) ((2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1) #

# (2k + 2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * farba (červená) ((2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1) #

Ako vidíte, my # (2k) #! je v podstate súčasťou. t # (2k + 2)! #, Môžeme to použiť na zrušenie každého spoločného termínu:

# ((2k)!) / ((2k + 2)!) = Zrušiť (farba (červená) ((2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1)) / ((2k + 2) * (2k + 1) * zrušiť (farba (červená) ((2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1)) #

# = 1 / ((2k + 2) (2k + 1)) #

Odchádza

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ 2 / ((2k + 2) (2k + 1))) #

Teraz môžeme tento limit vyhodnotiť. Všimnite si, že vzhľadom na to, že tento limit neberieme do úvahy #X#, môžeme to vysvetliť:

# => abs (x ^ 2 lim_ (k-> oo) (1 / ((2k + 2) (2k + 1))) #

# => abs (x ^ 2 * 0) = 0 #

Ako vidíte, tento limit = 0, ktorý je menší ako 1. Teraz sa pýtame sami seba: je nejaká hodnota #X# pre ktoré by bol tento limit 1? Odpoveď znie nie, pretože všetko násobené 0 je 0.

Takže, pretože #lim_ (k-> oo) abs ((x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) / (x ^ (2k))) <1 # pre všetky hodnoty #X#môžeme povedať, že má interval konvergencie # (- oo, oo) #.

Dúfam, že to pomohlo:)