Súčet štvorca troch celých čísel je 324. Ako zistíte celé čísla?

odpoveď:

Jediným riešením s odlišnými kladnými celými číslami je #(2, 8, 16)#

Celá sada riešení je:

#{ (0, 0, +-18), (+-2, +-8, +-16), (+-8, +-8, +-14), (+-6, +-12, +-12) }#

vysvetlenie:

Môžeme si zachrániť určité úsilie tým, že zvážime, akú formu majú štvorce.

ak # N # je potom nepárne celé číslo #n = 2k + 1 # pre niektoré celé číslo # K # a:

# n ^ 2 = (2k + 1) ^ 2 = 4 (k ^ 2 + k) + 1 #

Všimnite si, že toto je nepárne celé číslo formulára # 4p + 1 #.

Ak teda pridáte štvorce dvoch nepárnych celých čísel, dostanete vždy celé číslo formulára # 4k + 2 # pre niektoré celé číslo # K #.

Poznač si to #324 = 4*81# je vo forme # # 4k, nie # 4k + 2 #.

Preto môžeme vyvodiť, že všetky tri celé čísla musia byť rovnaké.

Existuje celá rada riešení v celých číslach od roku # n ^ 2> = 0 # pre akékoľvek celé číslo # N #.

Zvážte riešenia v nezáporných celých číslach. Môžeme pridať varianty zahŕňajúce záporné celé čísla na konci.

Predpokladajme, že najväčšie číslo je # N #, potom:

# 324/3 = 108 <= n ^ 2 <= 324 = 18 ^ 2 #

takže:

# 12 <= n <= 18 #

Výsledkom sú možné súčty štvorcov ostatných dvoch celých čísel:

#324 - 18^2 = 0#

#324 - 16^2 = 68#

#324 - 14^2 = 128#

#324 - 12^2 = 180#

Pre každú z týchto hodnôt # K #Predpokladajme, že najväčšie zostávajúce celé číslo je # M #, potom:

# k / 2 <= m ^ 2 <= k #

a požadujeme # K-m ^ 2 # byť dokonalým námestím.

Nájdeme preto riešenia:

#(0, 0, 18)#

#(2, 8, 16)#

#(8, 8, 14)#

#(6, 12, 12)#

Takže jediné riešenie s odlišnými kladnými celými číslami je #(2, 8, 16)#

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 2 ^ 2 3 ^ 4 = w ^ 2 #

Je to ľahké ukázať # X, y # a # Z # musí byť aj preto, že robia # x = 2m_x + 1, y = 2m_y + 1 # a # Z = 2m_z # máme

# 4m_x ^ 2 + 4m_x + 4m_y ^ 2 + 4m_y + 4m_z ^ 2 + 2 = 4xx 3 ^ 4 # alebo

# 2m_x ^ 2 + 2m_x + 2m_y ^ 2 + 2m_y + 2m_z ^ 2 + 1 = 2 xx 3 ^ 4 # čo je absurdné.

Takže odteraz zvážime

# m_x ^ 2 + m_y ^ 2 + m_z ^ 2 = 3 ^ 4 #

Teraz zvažujeme identitu

# ((L ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n) ^ 2 + (2 l) ^ 2 + (2m) ^ 2 = ((l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n) ^ 2 #

s # L, m, n # ľubovoľných kladných celých čísel a tvorby

# {(m_x = (l ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n), (m_y = 2l), (m_z = 2m), (m_w = (l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n):} # ------ 1

máme

# l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2 = 3 ^ 2 n # alebo riešenie # N #

#n = 1/2 (9pm sqrt (9 ^ 2-4 (l ^ 2 + m ^ 2))) # #

potrebujeme

# 9 ^ 2-4 (l ^ 2 + m ^ 2) = p ^ 2 # alebo

# 9 ^ 2-p ^ 2 = 4 (l ^ 2 + m ^ 2) = q #

tak pre # P = {1,2,3,4,5,6,7,8} # budeme mať

#q = {80,77,72,65,56,45,32,17} # tak uskutočniteľné # Q # sú

#q_f = {80,72,56,32} # pretože #q equiv 0 mod 4 #

takže musíme nájsť

# 4 (l_i ^ 2 + m_i ^ 2) = q_i # alebo

# l_i ^ 2 + m_i ^ 2 = 1/4 q_i = bar q_i = {20,18,14,8} #

Tu, ako môžeme ľahko overiť, jediné riešenie je pre

# L_1 = 2, m_1 = 4 # pretože

# l_1 ^ 2 + m_1 ^ 2 = bar q_1 #

a následne # n_1 = {4,5} #

a nahradením do 1 dostaneme

# n_1 = 4 rArr {(m_x = 1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

# n_1 = 5 rArr {(m_x = -1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

roztoku

# {(x = 2m_x = 2), (y = 2m_y = 8), (z = 2m_z = 16):} #