Čo je integrál int tan ^ 4x dx?

odpoveď:

# (Tan ^ 3x) / 3-Tanx + x + C #

vysvetlenie:

Riešenie trig antiderivátov zvyčajne zahŕňa porušenie integrálu smerom nadol, aby sa aplikovali Pythagorean Identity, a ich použitie pomocou # U #-substitucí. To je presne to, čo tu urobíme.

Začnite prepisovaním # Inttan ^ 4xdx # ako # Inttan ^ 2xtan ^ 2xdx #, Teraz môžeme použiť Pythagorean Identity # Tan ^ 2x + 1 = sek ^ # 2x, alebo # Tan ^ 2x = sek ^ 2x-1 #:

# Inttan ^ 2xtan ^ 2xdx = int (sek ^ 2x-1) tan ^ 2xdx #

Distribúcia # Tan ^ # 2x:

#COLOR (biely) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2xtan ^ 2xdx #

Uplatnenie pravidla súčtu:

#COLOR (biely) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx #

Tieto integrály budeme hodnotiť jeden po druhom.

Prvý integrál

Tento je riešený pomocou a # U #-substitucí:

nechať # U = Tanx #

# (Du) / dx = sec ^ # 2x

# Du = sek ^ 2xdx #

Uplatnenie substitúcie, #COLOR (biely) (XX) intsec ^ 2xtan ^ 2xdx = Intu ^ 2DU #

#COLOR (biely) (XX) = u ^ 3/3 + C #

pretože # U = Tanx #, # Intsec ^ 2xtan ^ 2xdx = (tan ^ 3x) / 3 + C #

Druhý integrál

Pretože nevieme čo # Inttan ^ 2xdx # je len pri pohľade na to, skúste použiť # Tan ^ 2 = sek ^ 2x-1 # identita znova:

# Inttan ^ 2xdx = int (sek ^ 2x-1) dx #

Pomocou pravidla súčtu sa integrál zmenší na:

# Intsec ^ 2xdx-int1dx #

Prvá z nich, # Intsec ^ 2xdx #, je len # Tanx + C #, Druhý, takzvaný "dokonalý integrál", je jednoducho # X + C #, Keď to všetko zhrnieme, môžeme povedať:

# Inttan ^ 2xdx = Tanx + C-X + C #

A preto # C + C # je len ďalšia ľubovoľná konštanta, môžeme ju spojiť do všeobecnej konštanty # C #:

# Inttan ^ 2xdx = Tanx-x + C #

Kombináciou týchto dvoch výsledkov máme:

# Inttan ^ 4xdx = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx = ((tan ^ 3x) / 3 + C) - (Tanx-x + C) = (tan ^ 3x) / 3-Tanx + x + C #

Opäť, pretože # C + C # je konštanta, môžeme ich spojiť do jedného # C #.