Ako hodnotíte definitívny integrál int sec ^ 2x / (1 + tan ^ 2x) z [0, pi / 4]?

odpoveď:

# Pi / 4 #

vysvetlenie:

Všimnite si, že z druhej Pythagorean identity, že

# 1 + tan ^ 2x = sec ^ 2x #

To znamená, že zlomok je rovný 1 a toto nám ponecháva skôr jednoduchý integrál

# int_0 ^ (pi / 4) dx = x | _0 ^ (pi / 4) = pi / 4 #

odpoveď:

# Pi / 4 #

vysvetlenie:

Zaujímavé je, že môžeme tiež poznamenať, že to zapadá do formy arctangentného integrálu, konkrétne:

# INT1 / (1 + u ^ 2) du = arctan (u) #

Tu, ak # U = Tanx # potom # Du = sek ^ 2xdx #, potom:

# Intsec ^ 2x / (1 + tan ^ 2 x) dx = INT1 / (1 + u ^ 2) du = arctan (u) = arctan (Tanx) = x #

Pridanie hraníc:

# INT_0 ^ (pi / 4), sek ^ 2x / (1 + tan ^ 2x) dx = x _0 ^ (pi / 4) = pi / 4-0 = pi / 4 #