Dovoliť je N najmenšie celé číslo s 378 deliteľmi. Ak N = 2 ^ a xx 3 ^ b xx 5 ^ c xx 7 ^ d, aká je hodnota {a, b, c, d} v NN?

odpoveď:

# (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #

#N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19,051,200 #

vysvetlenie:

Dané číslo # N # s prvou faktorizáciou #n = p_1 ^ (alpha_1) p_2 ^ (alpha_2) … p_k ^ (alpha_k) #, každý deliteľ. t # N # je vo forme # P_1 ^ (beta_1) p_2 ^ (beta_2) … p_k ^ (beta_k) # kde #beta_i v {0, 1, …, alpha_i} #, Ako tam sú # Alpha_i + 1 # pre každého # # Beta_i, počet deliteľov. t # N # je daný

# (Alpha_1 + 1) (alpha_2 + 1) … (alpha_k + 1) = Prod_ (i = 1) ^ k (alpha_i + 1) #

ako # N = 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d #, počet deliteľov. t # N # je daný # (a + 1) (b + 1) (c + 1) (d + 1) = 378 #, Naším cieľom je teda nájsť #(a B C d)# tak, že vyššie uvedený výrobok má a # 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d # je minimálna. Ako sme sa minimalizovať, budeme predpokladať od tohto bodu ďalej #A> = b> = c> = d # (ak by tomu tak nebolo, mohli by sme vymeniť exponentov, aby sme dosiahli menší výsledok s rovnakým počtom deliteľov).

Berúc na vedomie # 378 = 2xx3 ^ 3xx7 #môžeme zvážiť možné prípady, v ktorých #378# je napísaný ako produkt štyroch celých čísel # k_1, k_2, k_3, k_4 #, Môžeme ich kontrolovať, aby sme zistili, ktorý výsledok priniesol najmenší výsledok # N #.

formát: # (k_1, k_2, k_3, k_4) => (a, b, c, d) => 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d #

# (2, 3, 3 ^ 2, 7) => (8, 6, 2, 1) => ~ 3.3xx10 ^ 7 #

# (2, 3, 3, 3 * 7) => (20, 2, 2, 1) => ~ 1.7xx10 ^ 9 #

#color (červená) ((3, 3, 2 * 3, 7) => (6, 5, 2, 2) => ~ 1.9xx10 ^ 7) #

# (3, 3, 3, 2 * 7) => (13, 2, 2, 2) => ~ 9.0xx10 ^ 7 #

# (1, 3, 2 * 3 ^ 2, 7) => (17, 6, 2, 0) => ~ 2.4xx10 ^ 9 #

Môžeme tu zastaviť, pretože nejaké ďalšie prípady budú mať nejaké #k_i> = 27 #, dávať # 2 ^ a> = 2 ^ 26 ~ ~ 6.7xx10 ^ 7 #, ktorá je už väčšia ako náš najlepší prípad.

Podľa vyššie uvedenej práce, potom #(a B C d)# ktorý produkuje minimálny # N # s #378# deliteľov # (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #, dávať #N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19,051,200 #