Ako integrujete e ^ x * cos (x)?

odpoveď:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ x / 2 (cosx + sinx) + C #

vysvetlenie:

Bude potrebné použiť integráciu dvakrát.

pre #u (x) a v (x) #, IBP je daný

#int uv 'dx = uv - int u'vdx #

nechať #u (x) = cos (x) znamená u '(x) = -sin (x) #

#v '(x) = e ^ x znamená v (x) = e ^ x #

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xcos (x) + farba (červená) (inte ^ xsin (x) dx) #

Teraz použite IBP na červený termín.

#u (x) = sin (x) znamená u '(x) = cos (x) #

#v '(x) = e ^ x znamená v (x) = e ^ x #

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xcos (x) + e ^ xsin (x) - inte ^ xcos (x) dx #

Zoskupte integrály spolu:

# 2int e ^ xcos (x) dx = e ^ x (cos (x) + sin (x)) + C #

teda

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ x / 2 (cosx + sinx) + C #

nechať # I = inte ^ xcosxdx #

Používame, Pravidlo integrácie častí #: intuvdx = uintvdx-int (du) / dxintvdx dx #.

Berieme, # u = cosx a, v = e ^ x #.

Z toho dôvodu, # (du) / dx = -sinx a intvdx = e ^ x #, Z tohto dôvodu

# I = e ^ xcosx + inte ^ xsinxdx = e ^ xcosx + J, J = inte ^ xsinxdx #.

Nájsť # J #, uplatňujeme rovnaké pravidlo, ale teraz # U = sinx #, &, # V = e ^ x #, dostaneme,

# J = e ^ xsinx-inte ^ xcosxdx = e ^ xsinx-I #.

Podčiarknutie tohto v # Aj #, máme, # I = e ^ xcosx + e ^ xsinx-I #, t.j.

# 2I = e ^ x (cosx + sinx) #, alebo

# I = e ^ x / 2. (Cosx + sinx) #.

Užite si matematiku!

odpoveď:

# E ^ x / 2 (cosx + sinx) + C #.

vysvetlenie:

nechať # I = e ^ xcosxdx a J = inte ^ xsinxdx #

Použitie IBP #; intuvdx = uintvdx-int (du) / dxintvdx dx #, s,

# u = cosx a, v = e ^ x #, dostaneme, # I = e ^ xcosx-int (-sinx) e ^ XDX = e ^ xcosx + inte ^ xsinxdx #, t.j.

# I = e ^ xcosx + J rArr I-J = e ^ xcosx …. …………….. (1) #

Opäť IBP, v roku 2006. T # J # dostaneme, # J = e ^ xsinx-inte ^ xcosx #, teda

# J = e ^ xsinx-I rArr J + I = e ^ xsinx …………….. (2) #

riešenie #(1) & (2)# pre #I a J #, máme, # I = e ^ x / 2 (cosx + sinx) + C, a J = e ^ x / 2 (sinx-cosx) + K #

Užite si matematiku!