Ako si overíte nasledujúcu identitu?

odpoveď:

Použite niekoľko trig identity a veľa zjednodušenia. Pozri nižšie.

vysvetlenie:

Pri riešení takých vecí # # Cos3x, to pomáha zjednodušiť ho na goniometrické funkcie jednotky #X#; niečo podobné # # Cosx alebo # Cos ^ 3x #, Na dosiahnutie tohto cieľa môžeme použiť pravidlo súčtu pre kosínus:

#cos (alfa + beta) = cosalphacosbeta-sinalphasinbeta #

Takže, pretože # Cos3x = cos (2x + x) #, máme:

#cos (2x + x) = cos2xcosx-sin2xsinx #

# = (Cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx) - (2sinxcosx) (sinx) #

Teraz môžeme nahradiť # # Cos3x s vyššie uvedeným výrazom:

# (Cos3x) / cosx = 1-4sin ^ # 2x

# ((Cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx) - (2sinxcosx) (sinx)) / cosx = 1-4sin ^ # 2x

Väčšiu frakciu môžeme rozdeliť na dve menšie frakcie:

# ((Cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx)) / cosx - ((2sinxcosx) (sinx)) / cosx = 1-4sin ^ # 2x

Všimnite si, ako kosiny zrušia:

# ((Cos ^ 2x-sin ^ 2x) zrušiť (cosx)) / zrušenie (cosx) - ((2sinxcancel (cosx)) (sinx)) / cancelcosx = 1-4sin ^ # 2x

# -> cos ^ 2x-sin ^ 2x-2sin ^ 2x = 1-4sin ^ # 2x

Teraz pridajte # Sin ^ 2x-sin ^ # 2x na ľavú stranu rovnice (čo je to isté ako pridanie #0#). Dôvody, ktoré to viedli, budú jasné za minútu:

# Cos ^ 2x-sin ^ 2x-2sin ^ 2x + (sin ^ 2x-sin ^ 2x) = 1-4sin ^ # 2x

Usporiadať výrazy:

# Cos ^ 2x + sin ^ 2x- (sin ^ 2x + sin ^ 2x + 2sin ^ 2 x) = 1-4sin ^ # 2x

Použite Pythagorean Identity # Sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 # a kombinovať # Sin ^ # 2xs v zátvorkách:

# 1 (4sin ^ 2x) = 1-4sin ^ # 2x

Môžete vidieť, že náš malý trik pridania # Sin ^ 2x-sin ^ # 2x nám umožnilo používať Pythagorean Identity a zbierať # Sin ^ # 2x pojmy.

A voila:

# 1-4sin ^ 2x = 1-4sin ^ # 2x

Q.e.d.