Ako zistíte Limit [(sin x) * (sin ^ 2 x)] / [1 - (cos x)] ako x sa blíži 0?

odpoveď:

Vykonajte niekoľko konjugovaných násobení a zjednodušte sa #lim_ (x-> 0) (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) = 0 #

vysvetlenie:

Priama substitúcia produkuje neurčitú formu #0/0#, takže budeme musieť skúsiť niečo iné.

Skúste násobiť # (Sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) # podľa # (1 + cosx) / (1 + cosx) #:

# (Sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) * (1 + cosx) / (1 + cosx) #

# = (Sinx * sin ^ 2x (1 + cosx)) / ((1-cosx) (1 + cosx)) #

# = (Sinx * sin ^ 2x (1 + cosx)) / (1-cos ^ 2x) #

Táto technika je známa ako násobenie konjugátu a funguje takmer vždy. Zámerom je použiť rozdiel vlastností štvorcov # (A-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 # zjednodušiť buď čitateľa alebo menovateľa (v tomto prípade menovateľa).

Pripomeňme, že # Sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, alebo # Sin ^ 2x = 1-cos ^ # 2x, Preto môžeme nahradiť menovateľa, ktorým je # 1-cos ^ # 2x, s # Sin ^ # 2x:

# ((Sinx) (sin ^ 2x) (1 + cosx)) / (sin ^ 2x) #

Teraz # Sin ^ # 2x zruší:

# ((Sinx) (zrušiť (sin ^ 2x)) (1 + cosx)) / (zrušiť (sin ^ 2x)) #

# = (Sinx) (1 + cosx) #

Dokončite tým, že vezmete limit tohto výrazu:

#lim_ (x-> 0) (sinx) (1 + cosx) #

# = Lim_ (X> 0) (sinx) lim_ (x-> 0) (1 + cosx) #

#=(0)(2)#

#=0#