Aká je rovnica paraboly so zameraním na (5,3) a directrix y = -12?

odpoveď:

# Y = x ^ 2/30-x / 3-11 / 3 #

vysvetlenie:

Definícia paraboly uvádza, že všetky body na parabole majú vždy rovnakú vzdialenosť od ohniska a od priamky.

Môžeme nechať # P = (x, y) #, ktorý bude predstavovať všeobecný bod o parabole, môžeme nechať # F = (5,3) # predstavujú zameranie a # D = (x, -12) # predstavujú najbližší bod na. t #X# je, pretože najbližší bod na directrix je vždy priamo dole.

Teraz môžeme nastaviť rovnicu s týmito bodmi. Na určenie vzdialeností použijeme vzorec vzdialenosti:

# D = sqrt ((x_2-x 1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Môžeme to aplikovať na naše body, aby sme najprv dostali vzdialenosť # P # a # F #:

#d_ (PF) = sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2) #

Potom sa budeme zaoberať vzdialenosťou medzi nimi # P # a # D #:

#d_ (PD) = sqrt ((x-x) ^ 2 + (y - (- 12)) ^ 2) #

Keďže tieto vzdialenosti musia byť rovnaké, môžeme ich zaradiť do rovnice:

#sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2) = sqrt ((y + 12) ^ 2) #

Od chvíle # P # je vo všeobecnej forme a môže predstavovať akýkoľvek bod na parabole, ak môžeme len vyriešiť # Y # v rovnici zostane rovnica, ktorá nám dá všetky body na parabolu, alebo inými slovami, bude to rovnica paraboly.

Po prvé, obídeme obe strany:

# (Sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2)) ^ 2 = (sqrt ((y + 12) ^ 2)) ^ 2 #

# (X-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = (y + 12) ^ 2 #

Potom môžeme rozšíriť:

# X ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-6y + 9 = y ^ 2 + 24y + 144 #

Ak vložíme všetko doľava a zbierame podobné výrazy, dostaneme:

# X ^ 2-10x-110-30y = 0 #

# 30y = x ^ 2-10x-110 #

# Y = x ^ 2 / 30- (10x) / 30-110 / 30 #

# Y = x ^ 2/30-x / 3-11 / 3 #

čo je rovnica našej paraboly.