Predpokladajme, že X je spojitá náhodná veličina, ktorej funkcia hustoty pravdepodobnosti je daná vzťahom: f (x) = k (2x - x ^ 2) pre 0 <x <2; 0 pre všetky ostatné x. Aká je hodnota k, P (X> 1), E (X) a Var (X)?

odpoveď:

# K = 3/4 #

#P (x> 1) = 1/2 #

#E (X) = 1 #

#V (X) = 1/5 #

vysvetlenie:

Nájsť # K #, používame # INT_0 ^ 2f (x) dx = INT_0 ^ 2k (2x-x ^ 2) dx = 1 #

#:. k 2x ^ 2/2-x ^ 3/3 _0 ^ 2 = 1 #

#K (4-8 / 3) = 1 # #=>## 4 / 3K = 1 ##=>## K = 3/4 #

Kalkulovať #P (x> 1) #, používame #P (X> 1) = 1-P (0 <x <1) #

# = 1-INT_0 ^ 1 (3/4) (2x-x ^ 2) = 1-3 / 4 2x ^ 2 / 2x ^ 3/3 _0 ^ 1 #

#=1-3/4(1-1/3)=1-1/2=1/2#

Kalkulovať #E (X) #

#E (X) = INT_0 ^ 2xF (x) dx = INT_0 ^ 2 (3/4) (2 x ^ 2 x ^ 3) dx #

# = 3/4 2x ^ 3/3-x ^ 4/4 _0 ^ 2 = 3/4 (16 / 3-16 / 4) = 3/4 * 16/12 = 1 #

Kalkulovať #V (X) #

#V (X) = E (X ^ 2) - (E (X)) ^ 2 = E (X ^ 2) -1 #

#E (X ^ 2) = INT_0 ^ 2x ^ 2f (x) dx = INT_0 ^ 2 (3/4) (2x ^ 3-x ^ 4) dx #

# = 3/4 2x ^ 4/4-x ^ 5/5 _0 ^ 2 = 3/4 (8-32 / 5) = 6/5 #

#:. V (X) = 6 / 5-1 = 1/5 #