Nech G je cyklická skupina a G = 48. Ako nájdete celú podskupinu G?

odpoveď:

Všetky podskupiny sú cyklické, s rozdeľovaním príkazov #48#

vysvetlenie:

Všetky podskupiny cyklickej skupiny sú samy cyklické, pričom príkazy sú deliteľmi poradia skupiny.

Ak chcete vidieť prečo, predpokladajte # G = <a> # je cyklický s poradím # N # a #H sube G # je podskupina.

ak # a ^ mv H # a # a ^ nv H #, tak je # A ^ (pm + qn) # pre všetky celé čísla #p, q #.

tak # a ^ kv H # kde #k = GCF (m, n) # a obaja # A ^ m # a # A ^ n # sú v # <a ^ k> #.

Najmä, ak # a ^ kv H # s #GCF (k, N) = 1 # potom #H = <a> = G #.

Tiež nie, ak #mn = N # potom # <a ^ m> # je podskupina # G # s objednávkou # N #.

Môžeme odvodiť:

• # H # nemá viac ako #1# generátor.
• Poradie # H # je faktorom # N #.

V našom príklade #N = 48 # a podskupiny sú izomorfné k:

# # C_1, # # C_2, # # C_3, # # C_4, # # C_6, # # C_8, # C_12 #, # C_16 #, # C_24 #, # C_48 #

sú:

#< >#, # <a ^ 24> #, # <a ^ 16> #, # <a ^ 12> #, # <a ^ 8> #, # <a ^ 6> #, # <a ^ 4> #, # <a ^ 3> #, # <a ^ 2> #, # <a> #