Aký je rozdiel medzi antiderivátom a integrálom?

Neexistujú žiadne rozdiely, tieto dve slová sú synonymné.

Záleží na niekoľkých veciach. Ktoré antiderivatívne, všeobecné alebo konkrétne? ktorý integrálny definitívny alebo neurčitý? A na koho sa pýtame?

Všeobecná integrácia:

Mnohí matematici nerozlišujú neurčitý integrál a všeobecný antiderivát. V oboch prípadoch pre funkciu # F # odpoveď je #F (x) + C # kde #F '(x) = f (x) #..

Niektorí (napríklad autor učebnice James Stewart) rozlišujú. Čo Stewart označuje ako "najobecnejší" antiderivát # F #, pripúšťa rôzne konštanty pri každom prerušení # F #, Napríklad by odpovedal, že najobecnejší antiderivát # 1 / x ^ 2 # je funkcia definovaná po častiach:

#F (x) = (- 1) / x + c_1 # pre #X <0 # a # (- 1) / x + C_2 # pre #X> 0 #.

Neobmedzený integrál # F #pri tomto liečení je vždy antiderivatívum v určitom intervale, na ktorom # F # je kontinuálna.

tak #int 1 / x ^ 2 dx = -1 / x + C #, kde sa rozumie, že doména je obmedzená na určitú podmnožinu buď pozitívnych realít, alebo podmnožinu negatívnych reals.

Konkrétne antideriváty

Zvláštny antiderivát # F # je funkcia # F # (skôr ako rodina funkcií), pre ktoré #F '(x) = f (x) #.

Napríklad:

#F (x) = (- 1) / x + 5 # pre #X <0 # a # (- 1) / x + 1 # pre #X> 0 #.

je zvláštnym antidervačným činidlom # F (x) = 1 / x ^ 2 #

a:

#G (x) = (- 1) / x-3 # pre #X <0 # a # (- 1) / x + 6 # pre #X> 0 #.

je iné konkrétne antidervatívum # F (x) = 1 / x ^ 2 #.

Definitívne integrály

Konečný integrál # F # z # A # na # B # nie je funkciou. Je to číslo.

Napríklad:

# int_1 ^ 3 1 / x ^ 2 dx = 2/3 #.

(Aby sme ešte viac skomplikovali veci, tento definitívny integrál možno nájsť pomocou Základnej vety o počte, časť 2, najprv nájdením / neurčitého integrálu / všeobecného antiderivátu, potom vykonaním somearitmetiky.)

Vaša otázka súvisí s tým, čo bolo skutočne "kľúčovým vhľadom" vo vývoji počtu Isaaca Newtona a Gottfrieda Leibniza.

Tento pohľad, ktorý sa zameriava na funkcie, ktoré nie sú nikdy negatívne, môže byť formulovaný ako: „Antideriváty môžu byť použité Nájsť oblasti (integrály) a oblasti (integrály) vymedziť Toto je podstata Základnej vety o kalkulu.

Bez obáv o Riemann sumy (po tom všetkom, Bernhard Riemann žil takmer 200 rokov po Newton a Leibniz tak ako tak) a brať pojem oblasti ako intuitívny (nedefinovaný) koncept, pre nepretržitú nezápornú funkciu #f (x) q 0 # pre všetkých #X# s #a q xq b #, Len si predstavte jednoznačný integrálny symbol # {}} {b} f (x) dx # ako reprezentujúci oblasť pod grafom # F # a nad #X#-axis medzi # X = a # a # X = b #, Ak je iná funkcia # F # možno nájsť tak, že #F '(x) = f (x) # pre všetkých #a q xq b #, potom # F # sa nazýva antiderivácia # F # počas intervalu # A, b # a rozdiel #F (b) -F (a) # rovná hodnote určitého integrálu. To znamená, # int_ {a} ^ {b} f (x) dx = F (b) -F (a) #, Táto skutočnosť je užitočná pre nález hodnota určitého integrálu (oblasti), keď sa nájde vzorec pre antideriváciu.

Naopak, ak nastavíme hornú hranicu integrálneho symbolu na premennú, zavolajte ju # T #a definujte funkciu # F # podľa vzorca #F (t) = int {a} ^ {t} f (x) dx # (tak #F (t) # je naozaj oblasť pod grafom # F # medzi # X = a # a # X = t #za predpokladu #a q tq b #), potom táto nová funkcia # F # je dobre definovaná, diferencovateľná a #F '(t) = f (t) # pre všetky čísla # T # medzi # A # a # B #, Použili sme integrál vymedziť antiderivatívne # F #, Táto skutočnosť je užitočná pri aproximácii hodnôt antiderivátu, keď sa nenašiel žiadny vzorec (pomocou numerických integračných metód, ako je Simpsonovo pravidlo). Napríklad, je to po celú dobu používa štatistici pri aproximácii oblastí pod krivkou Normal. Hodnoty špeciálnej antiderivácie štandardnej normálnej krivky sú často uvedené v tabuľke v štatistických knihách.

V prípade, že # F # má záporné hodnoty, definitívny integrál musí byť chápaný v zmysle "podpísaných oblastí".