Aký je jednotkový vektor, ktorý je ortogonálny k rovine obsahujúcej (-i + j + k) a (3i + 2j - 3k)?

odpoveď:

V závislosti od poradia operácií sú tu dva vektory jednotiek. Oni sú # (- 5i + 0j -5k) # a # (5i + 0j 5k) #

vysvetlenie:

Keď vezmete krížový produkt dvoch vektorov, vypočítate vektor, ktorý je ortogonálny k prvým dvom. Avšak riešenie # # VecAoxvecB je spravidla rovná a opačná v rozsahu # # VecBoxvecA.

Ako rýchly opakovač, krížový produkt # # VecAoxvecB vytvára 3x3 maticu, ktorá vyzerá takto:

# | i j k | #

# | A_x A_y A_z | #

# | B_x B_y B_z | #

a dostanete každý termín tým, že vezmete súčin diagonálnych pojmov, ktoré idú zľava doprava, počnúc daným písmenom jednotky vektora (i, j, alebo k) a odčítaním súčinu diagonálnych výrazov smerujúcich sprava doľava, počnúc od rovnaký vektorový list jednotky:

# (A_yxxB_z-A_zxxB_y) i + (A_zxxB_x-A_x xxBz) j + (A_x xxB_y-A_yxxB_x) k #

Pre tieto dve riešenia môžete nastaviť:

#vecA = - aj + j + k #

# VecB = 3i + 2j-3k #

Pozrime sa na obe riešenia:

# # VecAoxvecB

Ako je uvedené vyššie:

# vecAoxvecB = (A_yxxB_z-A_zxxB_y) i + (A_zxxB_x-A_x xxBz) j + (A_x xxB_y-A_yxxB_x) k #

# vecAoxvecB = (1xx (-3) -1xx2) i + (1xx3 - (- 1) xx (-3)) j + (- 1 xx2-1xx3) k #

#vecAoxvecB = (- 3-2) i + (3-3) + j (- 2-3) k #

#COLOR (červená) (vecAoxvecB = -5i + 0j-5k #

# # VecBoxvecA

Ako flip na prvú formuláciu, vezmite diagonály znova, ale matica je tvorená inak:

# | i j k | #

# | B_x B_y B_z | #

# | A_x A_y A_z | #

# vecBoxvecA = (A_zxxB_y-A_yxxB_z) i + (A_x xxB_z-A_z xxBx) j + (A_y xxB_x-A_x xxB_y) k #

Všimnite si, že sú odčítané odčítania. To je to, čo spôsobuje formu „Rovnosť a opak“.

# vecBoxvecA = (1xx2-1xx (-3)) i + ((- 1) xx (-3) -1 xx3) j + (1 xx3 - (- 1) xx2) k #

# VecBoxvecA = (2 - (- 3)) i + (3-3) + j (3 - (- 2)) k #

#COLOR (modro) (vecBoxvecA = 5i + 0j + 5k #

Aký je jednotkový vektor, ktorý je ortogonálny k rovine obsahujúcej (i + j - k) a (i - j + k)?

Vieme, že ak vec C = vec A × vec B potom vec C je kolmá na vec vec A aj vec B Takže, čo potrebujeme, je nájsť krížový produkt daných dvoch vektorov. Takže, (hati + hatj-hatk) × (hati-hatj + hatk) = - hatk-hatj-hatk + hati-hatj-i = -2 (hatk + hatj) Vektor jednotky je (-2 (hatk + hatj + hatj)) hatj)) / (sqrt (2 ^ 2 + 2 ^ 2)) = - (hatk + hatj) / sqrt (2)

Aký je jednotkový vektor, ktorý je ortogonálny k rovine obsahujúcej <0, 4, 4> a <1, 1, 1>?

Odpoveď je = 〈0,1 / sqrt2, -1 / sqrt2〉 Vektor, ktorý je kolmý na 2 iné vektory, je daný krížovým produktom. 〈0,4,4〉 x 〈1,1,1〉 = | (hati, hatj, hatk), (0,4,4), (1,1,1) | = hati (0) -hatj (-4) + hatk (-4) = 〈0,4, -4〉 Overenie vykonaním bodových produktov 〈0,4,4〉. 〈0,4, -4〉 = 0 + 16-16 = 0 〈1,1,1〉. 〈0,4, -4〉 = 0 + 4-4 = 0 Modul 〈0,4, -4〉 je = 〈0,4, - 4〉 = sqrt (0 + 16 + 16) = sqrt32 = 4sqrt2 Jednotkový vektor sa získa delením vektora modulom = 1 / (4sqrt2) 〈0,4, -4〉 = 〈0,1 / sqrt2, -1 / sqrt2>

Aký je jednotkový vektor, ktorý je ortogonálny k rovine obsahujúcej (20j + 31k) a (32i-38j-12k)?

Jednotkový vektor je == 1 / 1507,8 <938,992, -640> Vektor ortogonálny k 2 vectrom v rovine sa vypočíta s determinantom | (veci, vecj, veck), (d, e, f), (g, h, i) | kde 〈d, e, f〉 a 〈g, h, i〉 sú 2 vektory Tu máme veca = 〈0,20,31〉 a vecb = 〈32, -38, -12〉 Preto | (veci, vecj, veck), (0,20,31), (32, -38, -12) | = Veci | (20,31), (-38, -12) -vecj | (0,31), (32, -12) | + Veck | (0,20), (32, -38) | = veci (20 * -12 + 38 * 31) -vecj (0 * -12-31 * 32) + veck (0 * -38-32 * 20) = 〈938,992, -640〉 = vecc Overenie vykonaním 2 bodky produkty 〈938,992, -640〉 0,20,31〉 = 938 * 0 + 992 * 20-640 * 31 = 0 〈93