odpoveď:
#3#
vysvetlenie:
nechať
# X = sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
tam, kde obmedzujeme naše riešenie, aby bolo pozitívne, pretože berieme iba pozitívnu odmocninu, tzn. #X> = 0 #, Na oboch stranách máme
# X ^ 2 = 7 + sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
# => X ^ 2-7 = sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
Tam, kde tentoraz obmedzujeme ľavú stranu, aby sme boli pozitívni, pretože chceme len pozitívnu odmocninu, tzn.
# X ^ 2-7> = 0 # #=># #x> = sqrt (7) ~ = 2,65 #
kde sme eliminovali možnosť #X <= - sqrt (7) # pomocou nášho prvého obmedzenia.
Opäť stláčame obe strany, ktoré máme
# (X ^ 2-7) ^ 2 #=# 7 sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + …….. oo #
# (X ^ 2-7) ^ 2-7 = -sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + …….. oo #
Expresia v opakovaných odmocninách je pôvodným výrazom pre #X#, preto
# (X ^ 2-7) ^ 2-7 = -x #
alebo
# (X ^ 2-7) ^ 2-7 + x = 0 #
Skúšobné riešenia tejto rovnice sú # X = -2 # a # X = + 3 # čo vedie k nasledujúcej faktorizácii
# (X + 2) (X-3), (x ^ 2 + x-7), = 0 #
Použitie kvadratického vzorca na treťom faktore # (X ^ 2 + x-7), = 0 # dáva nám ďalšie dva korene:
# (- 1 + -sqrt (29)) / 2 ~ = 2,19 "a" -3,19 #
Štyri korene polynómu sú preto #-3.19…, -2, 2.19…, # a #3#, Iba jedna z týchto hodnôt spĺňa naše obmedzenia #x> = sqrt (7) ~ = 2,65 #, preto
# X = 3 #
odpoveď:
Inač
vysvetlenie:
Rád by som diskutoval o zložitom spôsobe, ako mať na prvý pohľad riešenie problému opakovaných štvorcových koreňov, ako je nasledovné
# sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r + sqrt (r + …….. oo # #
kde # r # patrí do nasledujúcej série
#3,7,13,21,31…………#, ktorého všeobecný termín je daný. t
# M ^ 2-m + 1 # kde # m epsilon N # a #m> 1 #
TRIK
Ak sa od daného čísla odpočíta 1 # M ^ 2-m + 1 # výsledné číslo sa stáva # M ^ 2-m # ktorý je #m (m-1) # a to nie je nič iné, len produkt dvoch po sebe idúcich čísel a väčší z týchto dvoch bude jedinečné riešenie problému.
keď r = # M ^ 2-m + 1 # faktor # M ^ 2-m + 1-1 # = # (M-1) m # a m je odpoveď
keď r = 3, je faktor (3-1) = 2 = 1,2 a 2
keď r = 7 je odpoveďou faktor (7-1) = 6 = 2,3 a 3
a tak ďalej…….
vysvetlenie
prevzatia
# x = sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r + …….. oo #
Orezávanie oboch strán
# x ^ 2 = r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo # #
# x ^ 2- r = sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
Opäť Squaring oboch stranách
# (x ^ 2- r) ^ 2 = r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r + …….. oo #
# (x ^ 2- r) ^ 2-r = -x #
# (x ^ 2- r) ^ 2-r + x = 0 #
uvedenie r = # M ^ 2-m + 1 #
# (x ^ 2- (m ^ 2-m + 1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1) + x = 0 #
ak vložíme x = m do LHS tejto rovnice, LHS sa stane
LHS =
# (m ^ 2- (m ^ 2-m + 1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1) + m #
# = (zrušiť (m ^ 2) - zrušiť (m ^ 2) + m-1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1-m) #
# = (M-1)) ^ 2- (m-1) ^ 2 = 0 #
rovnica je splnená.
Odpoveď je preto m
Poďme
# x = sqrt (7 + sqrt (7 + sqrt (7-sqrt … #
Môžeme to ľahko vidieť
#sqrt (7 + sqrt (7-x)) = x #
Takže vyriešime rovnicu:
# 7 + sqrt (7-x) = x ^ 2 #
#sqrt (7-x) = x ^ 2-7 #
# 7-x = (x ^ 2-7) ^ 2 = x ^ 4-14x ^ 2 + 49 #
# x ^ 4-14x ^ 2 + x + 42 = 0 #
Toto nie je triviálna rovnica, ktorá sa má vyriešiť. Jedna z ďalších osôb, ktorá odpovedala na otázku, predložila riešenie 3. Ak to vyskúšate, uvidíte, že je to pravda.
