Rovnoramenný trojuholník má strany A, B a C, pričom strany B a C majú rovnakú dĺžku. Ak sa strana A pohybuje od (1, 4) do (5, 1) a plocha trojuholníka je 15, aké sú možné súradnice tretieho rohu trojuholníka?

odpoveď:

Dva vrcholy tvoria základ dĺžky 5, takže nadmorská výška musí byť 6, aby sa dosiahla plocha 15. Noha je stred bodov a šesť jednotiek v oboch kolmých smeroch dáva # (33/5, 73/10)# alebo #(- 3/5, - 23/10) #.

vysvetlenie:

Pro tip: Snažte sa držať konvencie malých písmen pre trojuholníkové strany a veľké písmená pre vrcholy trojuholníka.

Dostali sme dva body a oblasť rovnoramenného trojuholníka. Tieto dva body tvoria základ, # B = sqrt {(5-1) ^ 2 + (1-4) ^ 2} = 5 #

Chodidlo # F # nadmorskej výšky je stred dvoch bodov, #F = ((1 + 5) / 2, (4 + 1) / 2) = (3, 5/2) #

Vektor smeru medzi bodmi je #(1-5, 4-1)=(-4,3)# s veľkosťou 5, ako sa práve vypočítalo. Smerový vektor kolmice dostaneme výmenou bodov a negovaním jedného z nich: #(3,4)# musí mať aj veľkosť päť.

Od tejto oblasti # A = frac 1 2 b h = 15 # dostaneme # H = (2 * 15) /b=6.#

Takže sa musíme pohnúť #6# jednotiek # F # v oboch kolmých smeroch, aby sme získali náš tretí vrchol, ktorý som volal # C #:

# C = F pm 6 frac {(3,4)} {5} = (3, 5/2) pm 6/5 (3,4) #

# C = (33/5, 73/10) alebo C = (- 3/5, - 23/10) #

kontrola: #(5,1)-(1,4)=(4,-3)#

# (- 3/5, - 23/10)-(1,4)=(-8/5,-63/10)#

Podpísaná oblasť je potom polovičným krížovým produktom

# A = frac 1 2 (4 (-63/10) - (-3) (- 8/5)) = -15 štvorcov

To je koniec, ale trochu si to zovšeobecníme. Zabudnime na to, že sú to rovnoramenné. Ak máme C (x, y), plocha je daná vzorcom šnúry:

# A = frac 1 2 | (1) (1) - (4) (5) + 5y-x + 4x-y | = 1/2 | 3x + 4y - 19 | #

Táto oblasť je #15#:

15 = 1/2 (3x + 4y - 19) #

# 19 pm 30 = 3x + 4y #

# 49 = 3x + 4y # alebo # -11 = 3x + 4y #

Ak je teda vrchol C na jednej z týchto dvoch rovnobežných čiar, budeme mať trojuholník oblasti 15.

nechať # PR = A # byť stranou rovnoramenného trojuholníka so súradnicami jeho koncových bodov takto

#Pto (1,4) # a #Rto (5,1) #

Nech sú súradnice tretieho bodu trojuholníka # (X, y) #.

ako # (X, y) # je v rovnakej vzdialenosti od P a R môžeme písať

# (X-1) ^ 2 + (y-4) ^ 2 = (x-5) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

# => X ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-8y + 16 = x ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-2y + 1 #

# => 8x-6Y = 9 #

# => X = (9 + 6Y) / 8 …… 1 #

znovu # (X, y) # sú rovnobežné od P a R, kolmica klesla z # (X, y) # na # PR # musí to rozdeľovať, nech je táto noha kolmá alebo stredná # PR # byť # T #

Súradnice #Tto (3,2.5) #

Teraz výška rovnoramenného trojuholníka

# H = sqrt ((x-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2) #

A základňa rovnoramenného trojuholníka

# PR = A = sqrt ((1-5) ^ 2 + (4-1) ^ 2) = 5 #

Takže problém jeho oblasti

# 1 / 2xxAxxH = 15 #

# => H = 30 / A = 30/5 = 6 #

#sqrt ((x-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2) = 6 #

# => (X-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 …. 2 #

2 a 1 dostaneme

# ((9 + 6Y) / 8-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 #

# => 1/64 (6Y-15) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 #

# => (6Y-15) ^ 2 + 64 (y-2.5) ^ 2 = 36xx64 #

# => 36y ^ 2-180 + 225 + 64y ^ 2-320y + 400 = 48 ^ 2 #

# => 100Y ^ 2-500y + 625 = 48 ^ 2 #

# => Y ^ 2-5y + 6,25 = 4,8 ^ 2 #

# => (Y-2.5) ^ 2 = 4,8 ^ 2 #

# => Y = 2.5pm4.8 #

tak # y = 7,3 a y = -2,3 #

kedy # Y = 7,3 #

# X = (9 + 6xx7.3) /8=6.6#

kedy # Y = -2,3 #

# X = (9 + 6xx (-2,3)) / 8 = -0,6 #

Súradnice tretieho bodu budú

# (6.6.7.3) do "Q na obrázku" #

OR

# (- 0,6, -2,3) na "S na obrázku" #