Súčet štvorca dvoch po sebe idúcich čísel je 390. Ako by ste formulovali kvadratickú rovnicu na nájdenie dvoch čísel?

odpoveď:

Kvadratická by bola # 2n ^ 2 + 2n-389 = 0 #.

Toto nemá žiadne celočíselné riešenia.

Ani nie je súčtom štvorcov všetkých dvoch celých čísel rovných #390#.

Súčet štvorcov dvoch Gaussových celých čísel môže byť 390.

vysvetlenie:

Ak je menšie z týchto dvoch čísel # N #, potom je väčšia # N + 1 # a súčet ich štvorcov je:

# n ^ 2 + (n + 1) ^ 2 = n ^ 2 + n ^ 2 + 2n + 1 = 2n ^ 2 + 2n + 1 #

Takže kvadratická rovnica, ktorú by sme chceli vyriešiť, je:

# 2n ^ 2 + 2n + 1 = 390 #

alebo ak dávate prednosť:

# 2n ^ 2 + 2n-389 = 0 #

Všimnite si však, že pre akékoľvek celé číslo # N # sumu # 2n ^ 2 + 2n + 1 # bude nepárne, takže to nie je možné #390# byť súčtom štvorcov dvoch celých čísel.

Môže byť vyjadrená ako súčet štvorcov ľubovoľných dvoch celých čísel?

#390 - 19^2 = 390 - 361 = 29' '# nie námestie

#390 - 18^2 = 390 - 324 = 66' '# nie námestie

#390 - 17^2 = 390 - 289 = 101' '# nie námestie

#390 - 16^2 = 390 - 256 = 134' '# nie námestie

#390 - 15^2 = 390 - 225 = 165' '# nie námestie

#390 - 14^2 = 390 - 196 = 194' '# nie námestie

Nie - ak pôjdeme ďalej, veľký zvyšok po odpočítaní štvorca nebude jedným z tých, ktoré sme už skontrolovali.

#COLOR (biely) () #

Komplexná poznámka pod čiarou

Je tu pár Gaussových celých čísel, ktorých súčet je #390#?

Áno.

Predpokladajme, že môžeme nájsť Gaussovo celé číslo # M + ňu #, skutočná časť ktorého námestia je #195#, Riešením by potom bol súčet štvorca tohto gaussovského čísla a štvorca jeho komplexného konjugátu.

Nájdeme:

# (m + ni) ^ 2 = (m ^ 2-n ^ 2) + 2mni #

Takže chceme nájsť celé čísla #m, n # takýmto spôsobom # m ^ 2-n ^ 2 = 195 #

No:

#14^2-1^2 = 196-1 = 195#

Preto zistíme:

# (14 + i) 2 + (14-i) 2 = 196 + 28i-1 + 196-28i-1 = 390 #

Ďalšie riešenie, ktoré vychádza zo skutočnosti, že každé nepárne číslo je rozdiel štvorcov dvoch po sebe idúcich čísel je:

# (98 + 97i) ^ 2 + (98-97i) ^ 2 = 390 #

Poznajúc vzorec k súčtu N celých čísel a) čo je súčet prvých N po sebe idúcich štvorcových celých čísel, Sigma_ (k = 1) ^ N k ^ 2 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + cdots + (N-1 ) ^ 2 + N ^ 2? b) Súčet prvých N po sebe idúcich celých čísel kocky Sigma_ (k = 1) ^ N k ^ 3?

Pre S_k (n) = sum_ {i = 0} ^ ni ^ k S_1 (n) = (n (n + 1)) / 2 S_2 (n) = 1/6 n (1 + n) (1 + 2 n ) S_3 (n) = ((n + 1) ^ 4- (n + 1) -6S_2 (n) -4S_1 (n)) / 4 Máme sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = sum_ {i = 0} ^ n (i + 1) ^ 3 - (n + 1) ^ 3 sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 + 3sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 3sum_ {i = 0} ^ ni + sum_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 3 0 = 3sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 3sum_ {i = 0} ^ ni + sum_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 3 riešenie pre sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 = (n + 1) ^ 3 / 3- (n + 1) / 3-sum_ {i = 0} ^ ni ale sum_ {i = 0} ^ ni = ((n + 1) n) / 2 so sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 = (n +1) ^ 3 / 3- (n

Ktoré vyhlásenie najlepšie vystihuje rovnicu (x + 5) 2 + 4 (x + 5) + 12 = 0? Rovnica je kvadratická vo forme, pretože ju možno prepísať ako kvadratickú rovnicu s u substitúciou u = (x + 5). Rovnica je kvadratická vo forme, pretože keď je rozšírená,

Ako je vysvetlené nižšie, u-substitúcia ho bude popisovať ako kvadratickú u. Pre kvadratické v x, jeho expanzia bude mať najvyššiu moc x ako 2, najlepšie to opíšeme ako kvadratické v x.

Obvod štvorca A je 5-krát väčší ako obvod štvorca B. Koľkokrát väčšia je plocha štvorca A ako plocha štvorca B?

Ak je dĺžka každej strany štvorca z, potom jej obvod P je daný: P = 4z Nech dĺžka každej strany štvorca A je x a nech P označuje jeho obvod. , Nech je dĺžka každej strany štvorca B y a P 'označuje jeho obvod. znamená P = 4x a P '= 4y Vzhľadom k tomu, že: P = 5P' znamená 4x = 5 * 4y znamená x = 5y implikuje y = x / 5 Preto dĺžka každej strany štvorca B je x / 5. Ak je dĺžka každej strany štvorca z, potom je jej obvod A daný: A = z ^ 2 Tu je dĺžka štvorca A x a dĺžka štvorca B je x / 5 Nech A_1 označuje plochu štvorca A A_2 označuje plochu štvorca B. znamená, že A_1 = x ^ 2 a A_2 = (