Funkcia 3x ^ (3) + 6x ^ (2) + 6x + 10 je maximá, minimá alebo inflexné body?

odpoveď:

Žiadne minúty alebo max
Bod inflexie na #x = -2 / 3 #.

graf {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 -10, 10, -10, 20}

vysvetlenie:

Miny a Maxes

Za dané #X#-hodnota (hovorme to # C #) pre max. alebo min pre danú funkciu, musí spĺňať nasledovné:

#f '(c) = 0 # alebo nedefinované.

Tieto hodnoty # C # sú tiež nazývané vaše kritické body.

Poznámka: Nie všetky kritické body sú max / min, ale všetky max / min sú kritické body

Nájdime ich teda pre vašu funkciu:

#f '(x) = 0 #

# => d / dx (3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10) = 0 #

# => 9x ^ 2 + 12x + 6 = 0 #

Nezáleží na tom, skúste kvadratický vzorec:

#x = (-12 + - sqrt (12 ^ 2 - 4 (9) (6)) / (2 (9)) #

# => (-12 + -sqrt (-72) / 18 #

… a môžeme tam zastaviť. Ako vidíte, skončíme s negatívnym číslom pod druhou odmocninou. Preto existujú žiadne skutočné kritické body pre túto funkciu.

Inflexné body

Nájdime teraz body inflexie. Ide o body, kde má graf zmenu konkávnosti (alebo zakrivenia). Pre bod (zavolajte ho) # C #) ako inflexný bod, musí spĺňať tieto požiadavky: t

#f '' (c) = 0 #.

Poznámka: Nie všetky tieto body sú bodmi inflexie, ale všetky body inflexu to musia spĺňať.

Poďme nájsť tieto:

#f '' (x) = 0 #

# => d / dx (d / dx (3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10)) = 0 #

# => d / dx (9x ^ 2 + 12x + 6 = 0) #

# => 18x + 12 = 0 #

# => x = -12/18 = -2 / 3 #

Teraz musíme skontrolovať, či je to v skutočnosti inflexný bod. Musíme to overiť # F '' (x) # v skutočnosti prepína znak na #x = -2 / 3 #.

Takže poďme testovacie hodnoty vpravo a vľavo #x = -2 / 3 #:

Správny:

#x = 0 #

#f '' (0) = 12 #

vľavo:

#x = -1 #

#f '' (- 1) = -6 #

Nezaujíma nás toľko, koľko sú skutočné hodnoty, ale ako môžeme jasne vidieť, je tu kladné číslo vpravo #x = -2 / 3 #a záporné číslo vľavo od #x = -2 / 3 #, Preto je skutočne bodom inflexie.

Zhrnúť, # F (x) # nemá žiadne kritické body (alebo min alebo max), ale má bod inflexie na #x = -2 / 3 #.

Poďme sa pozrieť na graf # F (x) # a zistite, čo tieto výsledky znamenajú:

graf {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 -10, 10, -10, 20}

Tento graf sa zvyšuje všade, takže nemá žiadne miesto, kde derivácia = 0. Avšak, to ide od zakrivenia nadol (konkávne dolu) k zakriveniu nahor (konkávne hore) na #x = -2 / 3 #.

Dúfam, že to pomohlo:)