Čo je lim_ (xrarr1 ^ +) x ^ (1 / (1-x)) ako x sa blíži 1 z pravej strany?

# 1 / e #

# X ^ (1 / (1-x)) #:

graf {x ^ (1 / (1-x)) -2,064, 4,095, -1,338, 1,74}

To by bolo oveľa jednoduchšie, keby sme jednoducho vzali # Ln # oboch stranách. od tej doby # X ^ (1 / (1-x)) # je kontinuálny v intervale otvorenia vpravo od #1#môžeme povedať, že:

#ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) # #

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln (x ^ (1 / (1-x))) #

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln x / (1-x) #

od tej doby #ln (1) = 0 # a #(1 - 1) = 0#, toto je forma #0/0# platí pravidlo L'Hopital:

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) (1 "/" x) / (- 1) #

A samozrejme, # 1 / x # je kontinuálna z každej strany #x = 1 #.

# => ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) = -1 #

V dôsledku toho je pôvodný limit:

#color (modrá) (lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))) = "exp" (ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))) #

# = e ^ (- 1) #

# = farba (modrá) (1 / e) #