Aký je jednotkový vektor, ktorý je ortogonálny k rovine obsahujúcej (- 5 i + 4 j - 5 k) a (4 i + 4 j + 2 k)?

odpoveď:

Existujú dva kroky: (1) nájsť krížový produkt vektorov, (2) normalizovať výsledný vektor. V tomto prípade je odpoveď:

# ((28) / (46,7) i- (10) / (46,7) j- (36) / (46,7) k) #

vysvetlenie:

Krížový produkt dvoch vektorov poskytuje vektor, ktorý je ortogonálny (v pravom uhle) voči obom.

Krížový produkt dvoch vektorov # (A #ja# + B #j# + C #k#)# a # (P #ja# + Q #j# + R #k#)# je daný # (B * r-c * q) i + (c * p-a * r) j + (a * Q-b * p) k #

Prvým krokom je nájsť krížový produkt:

# (- 5i + 4j 5k) xx (4i + 4j + 2k) = ((4 * 2) - (4 * -5) i + ((-5 * 4) - (- 5 * 2)) j + ((-5 * 4) - (4 * 4)) k = ((8 - (- 20)) i + (- 20 - (- 10) j + ((- 20) -16) k) = (28i-10j -36k) #

Tento vektor je ortogonálny k obidvom pôvodným vektorom, ale nie je to jednotkový vektor. Aby sme z neho urobili jednotkový vektor, musíme ho normalizovať: rozdeliť každú z jeho zložiek dĺžkou vektora.

# L = sqrt (28 ^ 2 + (- 10) ^ 2 + (- 36) ^ 2) = 46,7 # Jednotky

Jednotkový vektor ortogonálny k pôvodným vektorom je:

# ((28) / (46,7) i- (10) / (46,7) j- (36) / (46,7) k) #

Toto je jeden jednotkový vektor, ktorý je ortogonálny k pôvodným vektorom, ale existuje iný - ten v presnom opačnom smere. Jednoduchá zmena znamienka každej zo zložiek poskytuje druhý vektor ortogonálny k pôvodným vektorom.

# (- (28) / (46,7) i + (10) / (46,7), j + (36) / (46,7) k) #

(ale je to prvý vektor, ktorý by ste mali ponúknuť ako odpoveď na test alebo úlohu!)