X (P (x) Q (x)) xP (x) xQ (x) x (P (x) Q (x)) xP (x) xQ (x ). Prosím, pomôžte mi s prvým vyhlásením?

Aby sme porozumeli týmto tvrdeniam, musíme najprv pochopiť použitý zápis.

• # # AA - pre všetkých - Tento symbol znamená, že niečo platí pre každý príklad v rámci množiny. Takže, keď pridáme premennú #X#, # # AAX znamená, že niektoré vyhlásenie sa vzťahuje na každú možnú hodnotu alebo položku, v ktorej by sme mohli nahradiť #X#.

• #P (x), Q (x) # - problém - Toto sú logické výroky týkajúce sa #X#, to znamená, že predstavujú vyhlásenia o #X# ktoré sú buď pravdivé alebo nepravdivé pre každú konkrétnu #X#.

• # # - a - Tento symbol umožňuje kombináciu viacerých výrokov. Kombinovaný výsledok je pravdivý, keď sa obe tvrdenia vrátia pravdivé, a nepravdivé inak.

• # # - alebo - Tento symbol tiež umožňuje kombináciu viacerých výrokov. Kombinovaný výsledok je nepravdivý, keď sa obe výroky vrátia nepravdivé a pravdivé inak.

• # # - ak a len vtedy, ak - Tento symbol tiež umožňuje kombináciu viacerých výrokov. Kombinovaný výsledok je pravdivý, keď obe tvrdenia vrátia rovnakú hodnotu pravdy pre všetkých #X#a nepravdivé inak.

S týmto môžeme teraz preložiť vyhlásenia. Prvé tvrdenie, priamo vyjadrené, by znie ako "Pre všetky x, P x a Q x, ak a len pre všetky x, P x a pre všetky x, Q x."

Niektoré drobné dodatky a úpravy ho robia trochu zrozumiteľnejším.

"Pre všetky x, P a Q sú pravdivé pre x ak a len ak P je pravdivé pre všetky x a Q platí pre všetky x."

Toto vyhlásenie je tautológia, to znamená, že je pravdivá bez ohľadu na to, čo nahrádzame pre P alebo Q. Môžeme to ukázať tým, že demonštrujeme, že návrh pred znamená ten, ktorý je za ním, a naopak.

Vychádzajúc z predchádzajúceho vyhlásenia, máme to pre každého #X#, #P (x) Q (x) # je pravda. Podľa našej definície to znamená, že pre každého #X#, #P (x) # je pravda a #Q (x) # je pravda. To znamená, že pre každého #X#, #P (x) # je pravda a pre každého #X#, #Q (x) # je pravda, čo je vyhlásenie, ktoré sa objavuje po.

Ak začneme z vyhlásenia, ktoré sa objaví po, potom to vieme pre každého #X#, #P (x) # je pravda a pre každého #X#, #Q (x) # je pravda. Potom pre všetkých #X#, #P (x) # a #Q (x) # sú obaja pravdiví, význam pre všetkých #X#, #P (x) Q (x) # je pravda. To dokazuje, že prvé vyhlásenie je vždy pravdivé.

Druhé vyhlásenie je nepravdivé. Bez toho, aby sme prešli celým procesom, ako je uvedené vyššie, môžeme jednoducho ukázať, že dve výroky na oboch stranách nemajú vždy rovnakú hodnotu pravdy. Predpokladajme napríklad, že polovica všetkých možných #X#, #P (x) # je pravda a #Q (x) # je nepravdivá a pre druhú polovicu, #Q (x) # je pravda a #P (x) # je nepravdivé.

V tomto prípade, ako pre všetkých #X#, buď #P (x) # alebo #Q (x) # je pravda, návrh #AAx (P (x) Q (x)) # je pravdivé (pozri opisy vyššie). Ale pretože existujú hodnoty #X# pre ktoré #P (x) # je nepravdivé, tvrdenie #AAxP (x) # je nepravdivé. podobne #AAxQ (x) # je tiež falošný, čo znamená #AAxP (x) AAxQ (x) # je nepravdivé.

Keďže tieto dve výroky majú rozdielne hodnoty pravdy, pravda jedného z nich nezaručuje pravdu druhých, a preto ich spojenie s vedie k novej falošnej myšlienke.