Aká je najrýchlejšia a najjednoduchšia metóda riešenia kubických a kvartických rovníc (bez polynómovej kalkulačky)?

odpoveď:

Záleží…

vysvetlenie:

Ak má kubický alebo kvartický (alebo akýkoľvek stupeň polynómu pre túto záležitosť) racionálne korene, potom veta o racionálnych koreňoch môže byť najrýchlejší spôsob, ako ich nájsť.

Descartove pravidlo môže tiež pomôcť zistiť, či má polynómová rovnica pozitívne alebo negatívne korene, takže pomôže zúžiť vyhľadávanie.

Pre kubickú rovnicu môže byť užitočné vyhodnotiť diskriminujúceho:

#Delta = b ^ 2c ^ 2-4ac ^ 3-4b ^ 3d-27a ^ 2d ^ 2 + 18abcd #

• ak #Delta = 0 # potom kubický má opakovaný koreň.

• ak #Delta <0 # potom kubická má jeden skutočný koreň a dva nerealistické komplexné korene.

• ak #Delta> 0 # potom kubická má tri skutočné korene.

ak #Delta = 0 # potom kubický zdieľa faktor s jeho deriváciou, takže by ste mali byť schopní nájsť ich spoločný faktor vypočítaním polynómu GCF.

V opačnom prípade je pravdepodobne užitočné použiť transformáciu Tschirnhaus na odvodenie a stlačený kubický pred ďalším pokračovaním.

Ak kubický má jeden skutočný koreň a dva non-reálne, potom by som odporučil Cardanovu metódu.

Ak má tri skutočné korene, odporúčam namiesto toho použiť goniometrickú substitúciu.

Pre kvartiku, môžete získať depresívne kvartiku bez kocky termín substitúciou, ako je #t = x + b / (4a) #.

Ak výsledná kvartika tiež nemá lineárny termín, potom je kvadratická # X ^ 2 #, Môžete to buď vyriešiť ako kvadratické a mať odmocniny, alebo použiť faktorizáciu formulára:

# (x ^ 2-ax + b) (x ^ 2 + ax + b) = x ^ 4 + (2b-a ^ 2) x ^ 2 + b ^ 2 #

Z toho môžete nájsť kvadratické faktory na vyriešenie.

Ak výsledná kvartika má lineárny termín, potom môže byť zapracovaná do formulára:

# (x ^ 2-ax + b) (x ^ 2 + ax + c) = x ^ 4 + (b + c-a ^ 2) x ^ 2 + a (b-c) x + bc #

Rovnocenné koeficienty a použitie # (b + c) ^ 2 = (b-c) ^ 2 + 4bc #, môžete odvodiť kubický v # A ^ 2 #, Preto môžete nájsť možné hodnoty pre # A #, # B # a # C #, Potom nájdite nuly kvadratických faktorov.

Existujú aj iné špeciálne prípady, ale to zhruba pokrýva.