Dve čísla sa líšia o 3. Súčet ich vzájomných hodnôt je sedem desatín. Ako zistíte čísla?

odpoveď:

Existujú dve riešenia problému:

# (x_1, y_1) = (5,2) #

# (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #

vysvetlenie:

Toto je typický problém, ktorý možno vyriešiť pomocou systému dvoch rovníc s dvoma neznámymi premennými.

Nech je prvá neznáma premenná #X# a druhý # Y #.

Rozdiel medzi nimi je #3#, čo má za následok rovnicu:

(1) # X-y = 3 #

Ich vzájomnosti sú # 1 / x # a # 1 / y #, ktorého súčet je #7/10#, čo má za následok rovnicu:

(2) # 1 / x + 1 / y = 7/10 #

Existencia recipročných transakcií si vyžaduje obmedzenia:

túto chvíľu # násobok! = 0 # a #Y! = 0 #.

Na vyriešenie tohto systému používajme metódu substitúcie.

Z prvej rovnice môžeme vyjadriť #X# z hľadiska # Y # a nahradiť do druhej rovnice.

Z rovnice (1) môžeme odvodiť:

(3) #x = y + 3 #

Nahraďte ho rovnicou (2):

(4) # 1 / (y + 3) + 1 / y = 7/10 #

Toto si vyžaduje ďalšie obmedzenie:

# Y + 3! = 0 #, to znamená #Y = -! 3 #.

Použitie spoločného menovateľa # 10R (y + 3) # a uvažujeme iba čitateľa, transformujeme rovnicu (4) na:

# 10R + 10 (y + 3) = 7Y (y + 3) #

Toto je kvadratická rovnica, ktorú možno prepísať ako:

# 20y + 30 = 7Y ^ 2 + 21Y # alebo

# 7Y ^ 2 + y-30 = 0 #

Dve riešenia tejto rovnice sú:

#y_ (1,2) = (- 1 + -sqrt (1 + 840)) / 14 #

alebo

#y_ (1,2) = (- 1 + -29) / 14 #

Máme teda dve riešenia # Y #:

# Y_1 = 2 # a # Y_2 = -30 / 14 = -15 / 7 #

Zodpovedajúco, s použitím # X = y + 3 #dospeli sme k záveru, že existujú dve riešenia systému:

# (x_1, y_1) = (5,2) #

# (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #

V oboch prípadoch #X# je väčší ako # Y # podľa #3#, takže prvá podmienka problému je splnená.

Pozrime sa na druhú podmienku:

a) pre riešenie # (x_1, y_1) = (5,2) #:

#1/5+1/2=(2+5)/(5*2)=7/10# - zaškrtnuté

b) pre roztok # (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #:

#7/6-7/15=70/60-28/60=42/60=7/10# - zaškrtnuté

Obe riešenia sú správne.