Odlíšiť od prvého princípu x ^ 2sin (x)?

odpoveď:

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) # z definície derivátu a berúc do úvahy určité limity.

vysvetlenie:

nechať #f (x) = x ^ 2 hriech (x) #, potom

# (df) / dx = lim_ {h 0 0 (f (x + h) - f (x)) / h #

# = lim_ {h 0 0 ((x + h) ^ 2sin (x + h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = lim_ {h 0 0 ((x ^ 2 + 2hx + h ^ 2) (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) - x ^ 2sin (x)) / h #

#=#

# lim_ {h 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h + #

# lim_ {h 0 0 (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h + #

# lim_ {h 0 0 (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h + #

# lim_ {h 0 0 (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

goniometrickou identitou a niektorými zjednodušeniami. Na týchto štyroch posledných riadkoch máme štyri termíny.

Prvý termín sa rovná 0, pretože

#lim_ {h 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = x ^ 2sin (x) (lim_ {h až 0} (cos (h) - 1) / h) #

#= 0#, ktoré je možné vidieť napr. z Taylorovho rozšírenia alebo L'Hospitalovho pravidla.

Štvrtý termín tiež zmizne, pretože

#lim_ {h 0 0 (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

# = lim_ {h 0 0 h (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) #

#= 0#.

Teraz druhého funkčného obdobia zjednodušuje

# lim_ {h 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h #

# = x ^ 2cos (x) (lim_ {h až 0} (sin (h)) / h) #

# = x ^ 2cos (x) #, od tej doby

#lim_ {h - 0} (sin (h)) / h = 1 #, ako je tu znázornené, alebo napr. Pravidlo L'Hospital (pozri nižšie).

tretí termín zjednodušuje

# lim_ {h 0 0 (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

# = lim_ {h 0} 2xsin (x) cos (h) + 2xsin (h) cos (x) #

# = 2xsin (x) #,

ktorý po k druhému termínu dáva to

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) #.

Poznámka: Od L'Hospital je pravidlo, pretože # r_ {h 0} sin (h) = 0 # a # 0 {h 0} h = 0 # a obe funkcie sú diferencovateľné # H = 0 #, máme to

# r_ {h - 0} sin (h) / h = r {h - 0} ((d / (dh)) sin (h)) / (d / (dh) h) = {{ h 0} cos (h) = 1 #.

Limit # lim_ {h 0} (cos (h) - 1) / h = 0 # môže byť zobrazený podobne.