Pre aké hodnoty x je f (x) = x-x ^ 2e ^ -x konkávne alebo konvexné?

odpoveď:

Nájdite druhú deriváciu a skontrolujte jej znamienko. Je to konvexné, ak je pozitívne a konkávne, ak je negatívne.

Konkávne pre:

#x in (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Konvexné pre:

#xv (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #

vysvetlenie:

# F (x) = x-x ^ 2e ^ -X #

Prvý derivát:

# F '(x) = 1- (2xe ^ -x + x ^ 2 * (- e ^ -x)) #

# F '(x) = 1-2x ^ -x + x ^ 2e ^ -X #

trvať # E ^ -X # ako spoločný faktor na zjednodušenie ďalšieho derivátu:

# F '(x) = 1 + e ^ -x * (x ^ 2-2x) #

Druhá derivácia:

# F '' (x) = 0 + (- e ^ -x * (x ^ 2-2x) + e ^ -x * (2x-2)) #

# F '' (x) = e ^ -x * (2x-2x ^ 2 + 2x) #

# F '' (x) = e ^ -x * (- x ^ 2 + 4x-2) #

Teraz musíme študovať znamenie. Môžeme prepnúť označenie pre jednoduché riešenie kvadratických:

# F '' (x) = - e ^ -x * (x ^ 2-4x + 2) #

# Δ = b ^ 2-4 * a * c = 4 ^ 2-4 * 1 * 2 = 8 #

Na vytvorenie kvadratického produktu:

#x_ (1,2) = (- b + -sqrt (Δ)) / (2 * a) = (4 + -sqrt (8)) / (2 * 1) = 2 + -sqrt (2) #

Z tohto dôvodu:

# F '' (x) = - e ^ -x * (X- (2-sqrt (2))) * (x- (2 + sqrt (2))) #

• Hodnota #X# medzi týmito dvoma riešeniami dáva negatívny kvadratický znak, zatiaľ čo akákoľvek iná hodnota #X# pozitívne.
• Akákoľvek hodnota #X# značky # E ^ -X # pozitívne.
• Záporné znamienko na začiatku funkcie obráti všetky znamenia.

Z tohto dôvodu # F '' (x) # je:

Pozitívne, teda konkávne pre:

#x in (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Záporné, preto konvexné pre:

#xv (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #